高中新人教B版数学选修1-1课件3-3-2利用导数研究函数的极值 54张.ppt

[例4]　设函数f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2时取得极值． (1)求a，b的值； (2)若对于任意的x∈[0,3]，都有f(x)c2成立，求c的取值范围． 当x∈(2,3)时，f′(x)0. 所以当x＝1时，f(x)取得极大值f(1)＝5＋8c， 又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c. 则当x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c， 因为对于任意的x∈[0,3]，有f(x)c2恒成立， 所以9＋8cc2，解得c－1或c9， 因此c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)． [规律方法]　(1)不等式恒成立问题与函数最值有密切的关系，解决有关不等式恒成立问题，通常转化为最值问题来解： c≥f(x)恒成立?c≥f(x)max； c≤f(x)恒成立?c≤f(x)min. (2)高次函数或非基本初等函数的最值问题，通常采用导数法解决． 上例改为“若对任意的x∈[0,3]都有f(x)≥c2成立，求c的取值范围”，如何解答？ [解析]　由例题可知 f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c， 若对于任意的x∈[0,3]，都有f(x)≥c2成立，只需f(x)在x∈[0,3]上的最小值大于c2即可． 又当x＝1或x＝2时，f′(x)＝0， 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x 0 (0,1) 1 (1,2) 2 (2,3) 3 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 8c  极大值 5＋8c  极小值 4＋8c  9＋8c 可见函数f(x)在[0,3]上的最小值为8c， ∴f(x)≥c2恒成立，等价于8c≥c2， 解得0≤c≤8. [例5]　已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值为0，求常数a，b的值． [误解]　因为f(x)在x＝－1时有极值为0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b， 所以即 解得或 因此常数a＝1时，b＝3；a＝2时，b＝9. [辨析]　根据极值的定义，函数先减后增为极小值，函数先增后减为极大值，此题未验证x＝－1两侧函数的单调性． [正解]　由错解得当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0， 所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去． 当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)． 当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数， 当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数， 所以f(x)在x＝－1处取得极小值，因此a＝2，b＝9. 一、选择题 1．若函数y＝f(x)是定义在R上的可导函数，则f′(x)＝0是x0为函数y＝f(x)的极值点的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [答案]　B [解析]　如y＝x3，y′＝3x2，y′|x＝0＝0，但x＝0不是函数y＝x3的极值点． [答案]　A [答案]　B 二、填空题 4．函数f(x)＝x(x－m)2在x＝2处有极大值，则常数m的值为____________． [答案]　6 [解析]　∵f(x)＝x(x－m)2＝x3－2mx2＋m2x， ∴f′(x)＝3x2－4mx＋m2，由题意得，f′(2)＝0， ∴m＝6或2， 当m＝2时，函数f(x)在x＝2处取极小值，故m＝6. [答案]　0　－1 三、解答题 6．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋11. (1)写出函数的递减区间； (2)讨论函数的极大值或极小值，如有试写出极值． [解析]　f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)， 令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3. x变化时，f′(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示： x (－∞，－1) －1 (－1,3) 1 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 增 极大值f(－1) 减 极小值f(3) 增 (1)由表可得函数的递减区间为(－1,3)． (2)由表可得，当x＝－1时，函数有极大值为f(－1)＝16；当x＝3时，函数有极小值为f(3)＝－16. 1．知识与技能 了解函数在某点取得极值的条件，会用导数求多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上多项式函数的最大值、最小值． 2．过程与方法 通过本节课的学习，掌握用导数求函数极大值、极小值和闭区间上的最大值、最小值的方法． 3．情感、态度与价值观 通过本节课的学习，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性，通过对函数的极值与最值的类比，体验知识间的联系，逐步提高科学地分析、解决问题的能力． 本节重点：利用导数的知识求函数的极值． 本节难点：函数的极值与导数的关系． 利用函数的导数求极值时，首先要确定函数的定义域；其次，为了清楚起见，可用导数为零的点，将函数的定义域分成若干小开区