13第13章动能定理yanzhi.ppt

[学习重点] 1、力的功的计算； 2、刚体的动能计算； 3、机械效率，功率的单位。 4、理想约束：纯滚动时摩擦力的功； 5、动能定理与机械能守恒定理的关系。 6、三定理的综合应用 例13-2 均质圆盘沿直线轨道作纯滚动。设圆盘重 ，半径R，某瞬时其质心C的速度为 。求圆盘的动能。 解：物体为研究对象 例13-5 均质杆AB长l，质量为m，在水平位置处由静止释放如图所示。试求杆AB到达铅垂位置时点A的速度和加速度。 解：分析杆的受力，有重力 和约束力 、 ，做功的力为杆的重力。杆AB可作定轴转动。 要求A点的加速度，需要求出杆的角加速度 。求杆的角加速度，可用两种方法： 当 ， ，故 注意：1．用动能定理求加速度时，必须写出—般位置（角度）处的动能定理表达式，再对等式进行求导。不能对某特定位置（角度）表达式求导。 2． 由此比较可知，对于单个绕定轴转动刚体，用刚体定轴转动微分方程求角加速度较方便。此题的最简解法为：先用动能定理求 ；再用刚体统定轴转动微分方程求 。 ?例13-6 在绞车的主动轴I上作用一恒力偶M以提升重物，如图所示。已知重物的质量为m；主动轴I和从动轴II连同安装在轴上的齿轮等附件的转动惯量分别为J1和J2，传动比 ；鼓轮的半径为R。轴承的摩擦和吊索的质量均不计。绞车初始时静止，试求当重物上升的距离为h时的速度v及加速度α。 解：取绞车和重物 组成的质点系为研究对象。 二、势能 例2 均质圆柱A的重量为 ，半径为R，放在足够粗糙的水平面上，其轴心O处连接一弹簧常数为k 的水平拉伸弹簧，弹簧的另一端固定在墙上。圆柱上绕有质量不计的细绳，绳子绕过一重量为 、半径为r 的均质滑轮B，其另—端悬挂重量 的物块C，使圆柱在地面上作纯滚动。若滑轮轴承的摩擦略去不计，整个系统从静止开始运动，起始时弹簧无变形，绳与滑轮间无相对滑动。试以物块的起始位置为x轴的原点，如图所示，建立物块的加速度 与位移x间的关系式。 解：[分析]系统的待求量为运动量，可用动能定理求解，因该系统为保守系统，亦可用机械能守恒定律求解。 1. 用动能定理求解 所有力的功 2．用机械能守恒定律求解 由 机械能守恒 例13-9 图（a）所示铰车鼓轮的半径为r，重为G1，重心与轴承O的中心相重合，在其上作用一力偶矩为M的常力偶，使半径为R，重为G2的滚子（鼓轮和滚子均视为均质圆盘）沿倾角为 的斜面由静止开始向上作纯滚动。设绳子不能伸长且不计质量，求鼓轮由静止开始转过角 时，滚子质心C的速度、加速度、绳子的拉力和轴承O处约束力。 解：(1) 取整个系统为研究对象，应用动能定理求滚子质心C的速度、加速度。系统初始瞬时的动能 则 解得 (2) 取鼓轮（包括绳子）为研究对象，其受力图如图13-20（b）所示。应用刚体绕定轴转动微分方程，求滚子对绳子的拉力。 (3) 仍以鼓轮（包括绳子）为研究对象，根据质心运动定理求轴承O处约束力。 因鼓轮质心的加速度为零，故由质心运动定理的投影形式可得 ?例13-10 均质细长杆为l，质量为m，静止直立于光滑水平面上。当杆受微小扰动，而倒下时，求AB杆刚刚达到地面时的角速度和地面的约束力。 由运动学知，杆的角速度 当 时，解出 沿铅垂方向投影，得 内力的解释：内燃机的汽油是外“力”时，只有外力才能改变系统的动能。什么是力？ 内力作功时可以改变动能 将式（1）两端对t求一阶导数，得 由于 可得滚子质心的加速度 ???（2） 根据刚体绕定轴转动微分方程，可得 而 代入上式得绳子的拉力 (3) 将式（3）代入，解得 解：由于地面光滑，AB杆在运动中只受重力和地面法向反力作用，所有外力均为铅垂，倒下过程中，即水平方向合力等于零，则质心在水平方向的运动守恒。 由于杆初瞬时静止，质心的横坐标xC保持常数。 因此，AB杆的质心将铅垂下落。 设杆向左滑动于任一角度 P为杆的速度瞬心 杆的动能为 杆的初瞬时动能为 由于地面反力作功等于零，所以系统只有重力作功 根据动能定理 杆刚刚到达地面时，受力及加速度如图所示，由刚体平面运动微分方程，得 点A的加速度 方向为水平 质心C的加速度为铅垂 选A为基点，则C点的加速度为 （1） （2） （3