2015届高考数学经典综合性大题函数与导数.docVIP

函数综合性大题1 1.已知函数 （1）求在区间上的最大值 （）是否存在实数使得的图像与的图像有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。 解：（） 当即时，在上单调递增， 当即时， 当时，在上单调递减， 综上，（）函数的图像与的图像有且只有三个不同的交点，即函数 的图像与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。 当时，是增函数； 当时，是减函数； 当时，是增函数； 当或时， 当充分接近0时，当充分大时， 要使的图像与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须 　　即 所以存在实数，使得函数与的图像有且只有三个不同的交点，的取值范围为设函数，其图像在点处的切线的斜率分别为． （1）求证：； （2）若函数的递增区间为，求的取值范围； （3）若当时（k是与无关的常数），恒有，试求k的最小值． 解：（1），由题意及导数的几何意义得 ，（1） ， （2）又，可得，即，故 由（1）得，代入，再由，得 ， （3）将代入（2）得，即方程有实根． 故其判别式得 ，或， （4）由（3），（4）得；（2）由的判别式， 知方程有两个不等实根，设为， 又由知，为方程（）的一个实根，则有根与系数的关系得 ，当或时，，当时，， 故函数的递增区间为，由题设知， 因此，由（Ⅰ）知得 的取值范围为； （3）由，即，即， 因为，则，整理得， 设，可以看作是关于的一次函数， 由题意对于恒成立， 故 即得或， 由题意，， 故，因此的最小值为．和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、． （Ⅰ）设，试求函数的表达式； （Ⅱ）是否存在，使得、与三点共线．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数，在区间内总存在个实数，，使得不等式成立，求的最大值． 解：（Ⅰ）设、两点的横坐标分别为、， ， 切线的方程为：， 又切线过点， 有， 即， 同理，由切线也过点，得由（1）、（2），可得是方程的两根， （ * ） ， 把（ * ）式代入,得, 因此，函数的表达式为． （Ⅱ）当点、与共线时，，＝， 即＝，化简，得， ，．………………（3）把（*）式代入（3），解得． 存在，使得点、与三点共线，且 （Ⅲ）易知在区间上为增函数， ， 则． 依题意，不等式对一切的正整数恒成立， ， 即对一切的正整数恒成立，． ， ， ． 由于为正整数，．又当时，存在，，对所有的满足条件． 因此，的最大值为:f(x–1)=f(3–x)且方程f(x)=2x有等根。 （1）求f(x)的解析式； （2）是否存在实数m，n (m＜n≤)，使f(x)定义域和值域分别为［m,n］和［4m,4n］，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由。 解：（1）∵方程ax2+bx=2x有等根，∴Δ=(b–2)2=0,得b=2。 由f(x–1)=f(3–x)知此函数图像的对称轴方程为=1 得a=–1，故f(x)=–x2+2x。 （2）f(x)=–(x–1)2+1≤1，∴4n≤1，即n≤ 而抛物线y=–x2+2x的对称轴为x=1 ∴n≤时，f(x)在［m,n］上为增函数。 若满足题设条件的m,n存在，则 又m＜n≤,∴m=–2,n=0，这时定义域为［–2,0］，值域为［–8,0］ 由以上可知满足条件的m、n存在，m=–2,n=0 评价：对数函数等注意考虑定义域。这种题型考虑单调性。 5.已知函数，，的最小值恰好是的三个根，其中． （）求证：；（）设，是函数的两个极值点． 若，求函数，，， 由，得 ∴ ， 故方程的两根是，． 故， ，即 ∴ （2）故有，， 且△，得． 由 ；得，，． 由（1）知，故， ∴ ， ∴ 。 6.已知函数(1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)对于区间D上的任意两个值总有以下不等式成立，则称函数为区间D上的“凹函数”.试证当时，，得 若函数为上单调增函数，则在上恒成立 即不等式在上恒成立. 也即在上恒成立 令，上述问题等价于，而为在上的减函数，则，于是为所求 (2)证明：由 得 而 ① 又， ∴ ② ∵ ∴， ∵ ∴ ③ 由①、②、③得 即，从而由凹函数的定义可知函数为凹函数 评价：记住题型 7.已知函数满足对任意，且，都有 （1）求实数的取值范围； （2）试讨论函数在区间 上的零点的个数； （3）对于给定的实数，有一个最小的负数，使得时，都成立，则当为何值时，最小，并求出的最小值． 解：（1）∵ ， 又∵，∴必有，∴实数的取值范围是． （2），由（1）知： ，所以。 由 ， ①当时，总有，，， 故时，在上