2015届高考数学一轮名校内部优题自主测验21.docVIP

2015届高考数学一轮名校内部优题自主测验21 一．单项选择题。（本部分共5道选择题） 1. 设是直线，a，β是两个不同的平面（ ） A. 若∥a，∥β，则a∥β B. 若∥a，⊥β，则a⊥β C. 若a⊥β，⊥a，则⊥β D. 若a⊥β, ∥a，则⊥β 答案 B 2．将两个顶点在抛物线y2＝2px(p＞0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则( )． A．n＝0 B．n＝1 C．n＝2 D．n≥3 解析 结合图象可知，过焦点斜率为和－的直线与抛物线各有两个交点，所以能够构成两组正三角形．本题也可以利用代数的方法求解，但显得有些麻烦． 答案 C 3．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t·5n－2－，则实数t的值为( )． A．4 B．5 C. D. 解析 ∵a1＝S1＝t－，a2＝S2－S1＝t，a3＝S3－S2＝4t，∴由{an}是等比数列知2＝·4t，显然t≠0，所以t＝5. 答案 B 4．气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为元，使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)一共使用了( ) A．600天 B．800天 C．1 000天 D．1 200天 解析 设一共使用了n天，则使用n天的平均耗资为2＝＋＋4.95， 当且仅当＝时，取得最小值，此时n＝800.本题的函数模型是一个在生活中较为常见的模型，注意如何建立这类问题的函数关系式，在有的问题中仪器还可以做废品再卖一点钱，这样要从总的耗资中把这部分除去． 答案 B 5．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是( )． A．(－1,2) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞) C．(－3,6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为函数有极大值和极小值， 所以f′(x)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4a2－4×3(a＋6)＞0， 解得a＜－3或a＞6. 答案 B 二．填空题。（本部分共2道填空题） 1．在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是________． 解析 假设直线与函数f(x)＝的图象在第一象限内的交点为P，在第三象限内的交点为Q，由题意知线段PQ的长为OP长的2倍． 假设P点的坐标为，则|PQ|＝2|OP|＝2≥4.当且仅当x＝，即x0＝时，取“＝”号． 答案 4 2．为了了解某校高中学生的近视眼发病率，在该校学生中进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生800名、600名、500名，若高三学生共抽取25名，则高一年级每一位学生被抽到的概率是________． 解析 无论高几，每一位学生被抽到的概率都相同，故高一年级每一位学生被抽到的概率为＝. 答案 三．解答题。（本部分共1道解答题） 讨论方程|1－x|＝kx的实数根的个数． 思路分析 分别作出函数y＝|1－x|与y＝kx的图象，结合图象讨论其交点个数． 解析 设y＝|1－x|，y＝kx，则方程的实根的个数就是函数y＝|1－x|的图象与y＝kx的图象交点的个数． 由上边图象可知： 当－1≤k＜0时，方程没有实数根； 当k＝0或k＜－1或k≥1时，方程只有一个实数根； 当0＜k＜1时，方程有两个不相等的实数根． 【点评】 数形结合思想是高考必考内容，它对于解答选择、填空题即形象、又快捷，对于解答题，图象有利于分析、解决问题，但适当的题步骤还是必须的. 1