A调和张量及位势算子的范数估计式.doc

硕士学位论文 A?? 调和张量及位势算子的范数估计式 NORM ESTIMATES OF A?? HARMONIC TENSOR AND POTENTIAL OPERATOR 王宇 哈尔滨工业大学 2012 年 7 月 中图分类号：O175.2 UDC：517.95  学校代码：10213 密级：公开  理学硕士学位论文 A??调和张量及位势算子的范数估计式 硕 士 研 究 生：王宇  导  师：邢宇明教授  申 请 学 位：理学硕士  学  科：基础数学  所 在 单 位：数学系 答 辩 日 期： 2012 年 7 月 授予学位单位：哈尔滨工业大学 Classified Index: O175.2 U.D.C: 517.95 Dissertation for the Master Degree in Science NORM ESTIMATES OF A? HARMONIC TENSOR AND POTENTIAL OPERATOR  Candidate： Supervisor： Academic Degree Applied for： Speciality： Affiliation： Date of Defence： Degree-Conferring-Institution：  Wang Yu Prof. Xing Yuming Master of Science Pure Mathematics Department of Mathematics July, 2012 Harbin Institute of Technology 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文  摘  要  微分形式的 A -调和方程是一类特殊的非线性椭圆偏微分方程，具有深刻的 物理学和力学背景，相关的结论在拟共形映射、弹性理论以及非线性位势理论得 到了广泛应用。而在偏微分方程的研究中各类算子起到了重要作用，尤其在加权 的Sobolev空间和Riesz位势研究中，需要对分数积分算子、分数极大算子、位势 算子进行范数估计，而位势算子是一类非常广泛的算子，在核函数取特殊的函数 或者满足一些特定的条件就包括了通常的分数积分算子、Calderon-Zygmund算子 以及换位子，因此研究位势算子在对于偏微分方程以及量子力学等领域具有重要 的意义。本文主要分如下几个部分： 首先，介绍了位势算子的相关背景，并且回顾了 A?? 调和方程以及微分形式 的相关知识和基本理论。 第二部分在 Pérez 等人的研究基础上，得到在积分核函数满足弱增长条件 下，位势算子作用在微分形式上的加权强?? p, q?? 型不等式，然后取特殊的权函数 得到了在任意球上的局部强?? p, q??不等式。 第三部分将建立位势算子 P 作用在 A?? 调和张量这一特殊的微分形式上的 Caccioppoli 型不等式，并考虑当 P 是积分域在有界开集 E 上的积分型算子时的 Cacciopppli 型 不 等 式 ， 并 利 用 相 关 基 本 不 等 式 ， 将 结 论 推 广 到 加 Ar????? 和 Ar ,?????? 权的形式。 最后，在位势算子 P 作用微分形式的强?? p, p?? 估计的基础上，结合微分形式 在同伦算子下的分解式，当积分核函数满足一定的条件时，尝试建立位势算子 P 的局部加权 Poincaré 型不等式。并在此基础上给出位势算子 P 的 BMO 范数， Lipschitz 范数和 Lp 范数之间的比较式。 关键词：位势算子；微分形式； A -调和张量；Poincaré 型不等式；Caccioppoli 型 不等式；BMO 范数 -I- 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 Abstract Differential forms of A -harmonic equation is a special kind of nonlinear elliptic partial differential equations with profound physics and mechanics background. The corresponding conclusions have been being applied in quasi-conformal mapping, elasitic theory and nonlinear potential theory. Many classes of operators play an important role in PDEs researches. Especially in the study of weighted Sobolev spaces and Riesz potenti