（钟烙华第三次作业）编构“最近发展区”发挥学生主体性Microsoft Word.docVIP

编构“最近发展区” 提高学生数学能力 ――求轨迹方程教学案例 江门市新会第一中学 钟烙华 联系电话 邮编：529100 邮箱：xhzhonglh@163.com 一、概述 求轨迹方程历来是高考的重点和热点，近年多以平面知识或圆锥曲线知识为背景，构建寻求轨迹的探索问题，试题具有一定难度。对附加条件的轨迹问题，在求出方程后要注意轨迹的纯粹性和完备性，学生难于掌握，为此，我从2006、2005年广东省高考题为载体，编构学生的“最近发展区”，利用几何画板显示“轨迹的纯粹性和完备性”。本内容需要3节课，本教学设计是第一课时。 二、教学目标分析 理解曲线与方程的概念。 掌握三种常用方法求曲线的轨迹方程，体会数形结合思想。 感受在求出方程后，利用几何画板显示“轨迹的纯粹性和完备性”的过程，培养学生实事求是的科学精神，不怕困难，追求真知的学习态度，养成良好的学习习惯。 三、学习者特征分析 本节课的学习者特征分析主要是根据教师平时对学生的了解而做出的： 1、这节课是高三第一循环复习，学生对以前学习过的知识已经遗忘一部分，需要教师引导学生重新掌握求轨迹方程，并在以前的基础上形成知识网络，提高能力； 2、学生是新会一中高三级选修化学的实验班学生，基础扎实； 3、学生已经理解曲线与方程的关系； 4、学生初步掌握三种求轨迹的常用方法； 5、学生运用数学知识迁移解决问题的能力不强； 6、学生对“轨迹的纯粹性和完备性”掌握不好。 四、教学策略选择与设计 1、讨论法、演示法、启发式法、先行组织者策略等。 2、“发展教学模式”的教学程式：出示基本知识（内容）——观察、分析、迁移——编构发展的网络、解决“最近发展区”——归纳领悟，形成能力。 3、“练在讲之前，讲在关键处”，充分发挥发挥学生的主动性和积极性。 五、教学过程 （一）、出示基本知识（内容）： 曲线方程的定义：在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立如下关系： 曲线上的点的坐标都是这个方程的解； 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 则方程叫曲线的方程；曲线叫方程的曲线。 2．求符合某种条件的动点轨迹方程，实质就是将题设中的条件“坐标化”。 （二）、将基本知识分析、迁移，教师编构“发展网络”，学生解决“最近发展区”。 题组一： 1．求与圆关于直线对称的圆的方程。 2．已知点A（－1，0）、B（1，4），平面上动点满足，点是点 关于直线的对称点，求动点的轨迹方程。 3．设函数分别在处取得极小值、极大值，平面上点的坐标分别为、，该平面上动点满足，点是点关于直线的对称点，求动点的轨迹方程。这一部分是该教学设计方案的关键所在。 4．设函数分别在处取得极小值、极大值，平面上点的坐标分别为、，该平面上动点满足，点是点关于直线的对称点，求动点的轨迹方程。 题组一的解答如下： 1．分析：圆心为C（0，2），C（0，2）关于直线对称的点为D（8，－2）， 故所求圆的方程为 2．分析：设，，， 即，所以P点的轨迹是圆心为C（0，2），半径r＝3的圆， 故由第1题得的轨迹方程为 3．分析：令解得 当时,, 当时, ,当时, 所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故, 所以点A、B的坐标为。 故由第2题得的轨迹方程为 4．分析：由第3题得点A、B的坐标为，设， 由得 由解得， 代入得，化简得,故动点的轨迹方程为 资源支持、具体的活动及其设计意图： 第3题是2006年广东省高考题，我从课本出发，选编第1、2题作为第3题的“最近发展区”，第4题是将高考题进一步发展。这四道题“外表”不同，实质是同一道题，充分体现“一题多变”。利用几何画板制作课件突破难点，教学过程都是学生先练习，然后学生交流，老师评价。“练在讲之前，讲在关键处”，充分发挥发挥学生的主动性和积极性。 题组二： 1．的顶点B、C的坐标分别为（1，3）、（－1，－1），顶点A在抛物线上，求的重心G的轨迹方程。 2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO，求△AOB的重心G的轨迹方程。 题组二的解答如下： 1．分析：设A(),G(x,y)， 则，得代入得即 因为A、B、C是三角形的顶点，所以A、B、C三点不共线，所以 故重心为G的轨迹方程为（） 2．分析： 方法一：设△AOB的重心为G(x,y), 根据题意直线AO得斜率存在且不等于0，设为K,则直线BO得斜率，直线AO的方程为 解方程组得或，所以A点得坐标为（）, 同理可得B点得坐标为（） 因为G(x,y)为△AOB的重心，所以消去参数得 故重心为G的轨迹方程为 方法二：设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则 …（1） ∵OA⊥OB ∴,即，……(2) 又点