函数的单调性讲义.docVIP

课 题：2.3.1 函数的单调性 高一数学教研组：陈剑 教学目标： 1 了解单调函数、单调区间的概念 2 理解函数单调性的概念; 并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间 3 能运用函数的单调性定义判断和证明简单函数的单调性 4 培养学生运用数形结合的方法解决问题，体现观察——归纳，猜想——证明的 数学思想，培养学生发现问题，解决问题的能力 教学重点：函数的单调性的概念 教学难点：利用函数单调的定义判断和证明具体函数的单调性 教 具：实物投影仪、胶片 教学方法：研究法、讲授法、发现法 教学过程： 一、 复习引入 我们在学习一次函数、二次函数、反比例函数以及函数时，曾经根据函数的图象研究过自变量变随变大或变小的性质，而这些研究结论是直观地由图象得到的． （1） f(x)=3x+2 分析：一次函数图象是直线，找两个关键点（0, 2）, （2） f(x)= 分析：图象是抛物线，找关键点（2，4）， (-2，4)，（0，0）对称轴是y轴 （图2） 引导学生观察：函数值随自变量变化的规律 这种自变量的变化对函数值变化的影响，在生活中经常受到关注。如水位的涨落随时间的变化规律，是防旱抗洪工作中必须解决的问题，还有生产利润关于成本的变化情况，学生学习效率关于时间的变化情况等。这就是本节课学习的重要内容 —— 函数的单调性 新课析授 以前我们是由观察图象得出结论，现在我们给出数学上的文字表达 ⒈ 增函数与减函数 定义：对于属于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任 意两个自变量的值 ⑴若当时，都有f()f(),则说f(x)在这个区间上 是增函数（如图3）； ⑵若当时，都有f()f(),则说f(x) 在这个区间 上是减函数（如图4）.y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 分析关键词： (1) 某个区间（给定区间）：增函数和减函数都是对相应区间而言，不同区间函数的单调性不一定相同 例如：y=（函数的单调性是局部性，相对性概念） 事实上，函数的单调区间是其定义域的子集 思考：能否说一个函数在x=5时是递增或递减的？为什么？ (2) 属于：两个自变量必须取自给定的区间，不能从其他区间上取 (3) 任意：不能取特定值来判断函数增减性 例如：y= (4) 都有：函数值变化一致 评讲：要判断某个函数y=f(x) 在某个区间上是减函数或是增函数，不能由特定的两个点的情况来判断，而必须严格按照定义在给定区间内任取两个自变量，由f()与f()的严格大小关系来判断函数增减性。结合图形观察可知：在单调区间上增函数的图象是上升，减函数的图象是下降的。 三、讲解例题： 例1 如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数. 解：函数y=f(x)的单调区间有[-5，-2]， [-2，1]，[1，3]，[3，5]，其中y=f(x) 在区间[-5，-2]，[1，3]上是减函数， 在区间[-2，1]，[3，5]上是增函数. 注意：（1）单调区间之间用的是逗号，而不是并集的符号 （2） 函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一 确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题，规定：只要区间端点值在定义域 中，单调区间就在端点闭。 学生练习：P 59 练习 1 从函数图象观察函数的单调性固然形象，但在理论上不够严谨，尤其是有些函数不易画出图 象。因此必须学会根据解析式和定义从数量上分析辨认，进行严格的证明。这才是我函数单调性的基本途径。 例2 证明函数f (x)=3x+2在R上是增函数. 证明：设是R上的任意两个实数，且，则 f()－f()=(3+2)-(3+2)=3(－), 由 , 得－0 ,于是f()－f()0,即 f()f(). ∴f (x)=3x+2在R上是增函数. （引导学生总结，证明函数单调性的步骤） 用单调性定义证明的步骤： ⑴设,是给定区间内的任意两个值，且； ⑵作差f ()－f ()，并将此差式变形（要注意变形的程度）； ⑶判断f ()－f ()的正负（要注意说理的充分性）； ⑷由定义，肯定要证命题成立 简言之：取值——作差并变形——定号——判断 学生练习：证明函数f(x)=在(0,+)上是减函数. 证明：设,是(0,+)上的任意两个实数，且， 则f()－f()=－=, 由,∈(0,+ )，得0,