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函数的最值问题探讨 肇庆市第一中学 欧阳炼 1 引言 函数的最值问题是函数中的重要内容之一，是分析函数性质的一个重要途径，它涉及的知识面很广，可以进行多个知识面的综合，所以，题型比较灵活，从而解题技巧性很强；同时，它在解决实际问题方面也有着广泛的运用，常常被用来解决现实生活中的一些最优化问题。所以，函数最值问题是高中教学的重点，是学生必须掌握的知识之一，故，对函数最值问题进行讨论是十分有必要的！ 2、函数最大值（最小值）的含义 2、1最大值 一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的，都有； （2）存在，使得。 那么，我们称M是函数的最大值。 2、2最小值 一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的，都有； （2）存在，使得。 那么，我们称M是函数的最小值。 函数在定义域内不一定有最大值或最小值。 3、函数最值问题的几种常见解法 3、1值域法 通过确定函数的值域，求得函数的最大值和最小值。 3、1、1判别式法 若函数可以化成含有的关于的一元二次方程的形式：，在的情况下，由于为实数，故有：从而求出的范围，确定函数的最值。 例1：求函数的最大值。 分析：我们通过整理，可以将函数化成。因为有解，从而用求出的范围，确定函数的最值。 3、1、2配方法 若函数可以通过运算成的形式，再通过二次函数的性质可以确定函数的最值。 3、1、3单调性法 若函数在某个区间上具有单调性，那么我们可以通过它在区间上的单调性求得它在这个区间上的最值。 3、2不等式法 利用基本不等式即：一般地，对于任意实数，我们有，当且仅当时，等号成立来求函数的最值。 3、3数形结合法 通过数与形之间的对应和转化来解题，通过函数所表示的图形的形状和性质来对应函数的最值进行求解。 分析：采取数形结合的方法，用两点之间的距离公式将问题转化为求某一动点到两个定点的 距离之和的最小值。 设 A （ 1 ， 1 ）， B （ 2 ， 3 ）则将问题就转化为在 x 轴上求一点 P （ x ， 0 ） 使得 |PA|+|PB| 最小，作 B 点关于 x 轴的对称点B ’（2 ， -3）不难发现当 P 点位于 AB ’ 和 x 轴的交点（如图 1 ）即点 P （ 5/4 ， 0 ）时， |PA|+|PB| 最小值为 3、4求导法 一般地，利用导数知识求函数在上的最值的步骤为：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 3、5换元法 通过对函数进行换元转化成我们比较熟悉的特殊函数之后，再利用特殊函数的最值求原函数的最值。 例8 已知3x2+2y2=6x，求x和y的平方和的最值。 4、最值的运用 4、1优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题。在解决这些问题时，我们通常从实际问题出发，利用数学知识建立相应的数学模型，再利用数学最值的知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论，然后再把数学结论返回到实际问题中进行检验。 例9 电视台为某个广告公司特约播放甲、乙两部连续剧。经调查，播放甲连续剧平均每集有收视观众20万人次，播放乙连续剧平均每集有收视观众15万人次，公司要求电视台每周共播放7集。 （1）设一周内甲连续剧播x集，甲、乙两部连续剧的收视观众的人次的总和为y万人次，求y关于x的函数关系式。 （2）已知电视台每周只能为该公司提供不超过300分钟的播放时间，并且播放甲连续剧每集需50分钟，播放乙连续剧每集需35分钟，请你用所学知识求电视台每周应播放甲、乙两部连续剧各多少集，才能使得每周收看甲、乙连续剧的观众的人次总和最大，并求出这个最大值。 分析:解本题的关键是由题意列不等式求x的取值范围,再利用函数增减性求最值。 解:（1）设甲连续剧一周内播x集，则乙连续剧播(7－x)集，根据题意得： y＝20x＋15(7－x) ∴y＝5x＋105 （2）50x＋35(7－x)≤300 解得x≤3 又y＝5x＋105的函数值随着x的增大而增大. 又∵x为自然数 当x＝3时，y有最大值3×5＋105＝120（万人次） 7－x＝4 答：略. 例10 （2003·北京卷·理·19）有三个新兴城镇，分别位于A、B、C三点，且今计划俣建一个中心医院，为同时方便三镇居民就医，准备建在的垂直平分线上的处（建立坐标系如图）， （1）若希望点到三镇距离的平方和为最小，点应位于何处？ （2）若希望点到三镇的最远距离为最小，点P位于何处？ 解：（1）由题设可知，，设点的坐标为（）， 则点至三镇距离的平方和为 当时，点的坐标为（0，0）。其中 当时，函数取得最小值。 点的坐标是（）。 （2）至三镇的最远距离为 由 记 当即时， 在上是增函数， 而在上是减函