函数思想在高中数学中的运用.docVIP

函数思想在高中数学中的运用 摘要：本文着重从两大方面论述了在数学解题中如何恰当的运用函数思想：①借助有关初等函数的性质，解决有关求值、解(证)不等式、解方程、最大值和最小值、有关方程根存在性以及讨论参数的取值范围等问题；②在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的. 关键词：函数、求值、不等式、方程、最大值和最小值、存在性、取值范围． 我们在教学的过程中会感觉到，学生会在不知不觉之中就能够解答许多数学问题，也许他们叫不上所用的方法的名字，有时也不需要知道它的名字，很多复杂的数学问题，在他们那很快屡出头绪，得以解决．他们的数学能力增强了，这就是数学方法的魅力．也是我们在教学过程中要教给学生的最重要的内容． 函数是中学数学的一个重要概念，一直是高考的热点、重点内容函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化，联系和发展角度拓宽解题思路一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程讨论参数的取值范围等问题，为实数，满足=，，则 ． 解：令，则为奇函数且在上为增函数，由=，则，故． 例2．设函数，求使的的取值范围． 解：由于是增函数，等价于． ① （1）时，=2，①式恒成立． （2）当时，，①式化为，即． （3）当时，，①式无解．综上，的取值范围是． 例3．设都是正数，证明对任意的正整数，下面的不等式成立：． 证明：下面的不等式对任意的都成立： ，即． 构造二次函数． ，． ，得． 注：本题是柯西不等式的一个特例，还有其他的证法，但惟有辅助函数法是最简捷、最透彻的证法． 例4．讨论的最值． [分析]本题不能利用基本不等式作出解答“”，因为等号只能在时才能取到，而这是不可能的，可构造函数试解本题． 解：显然，设．下面证明当时，是减函数．当，．，， ，，，即是上的减函数． 是函数在上的最小值，又． ，即． 例5．已知、为不全为0的实数，求证：方程在内至少有一个实根． 证明：若，则，此时方程的根为，满足题意．当时，令 ．（1）若，则 ，所以在内有一实根．（2）若，则 ，所以在内有一实根． 例6．若抛物线与连接两点、的线段（包括、两点）有两个相异的交点，求的取值范围． 解：易知过点、的直线方程为，而抛物线与线段有两个交点就是方程，在区间上有两个不等实根．令 ，则 解不等式组，得的范围是． 从以上的几个例子，我们看到，在解题时要从各种复杂的函数中划分出基本函数类，这些基本函数是最常见的、最有用的、最基本的函数，研究和总结基本函数的图象、性质及其解题的模式（方法），然后把实际问题或其他复杂函数化归为基本函数来解决，这就是基本函数模型方法． 二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.对于的一切实数都成立的的取值范围． 我们习惯上把当作自变量，构造函数于是问题转化为：当时，恒成立，求的取值范围.解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的. 如果把看作自变量，视为参数，构造函数，则是的一次函数，就非常简单.即令.函数的图象是一条线段，要使恒成立，当且仅当且，解这个不等式组即可求得的取值范围是.本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，我们把它化归为一个非常简单的一次函数，并借助于函数的图象建立了一个关于x的不等式组来达到求解的目的.，．在上恒成立．所求的取值范围是． 本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，我们把它化归为一个非常简单的一次函数，并借助于函数的图象建立了一个关于的不等式组来达到求解的目的.在函数的学习和复习中，要做到熟练掌握基础知识，充分理解各知识点间的内在联系，如数列中的都可以看作是的函数而应用函数思想以获得新的解法的前项和为，已知，， （1）为何值时最大？为什么？ （2）求证：． [解法一]（1）设数列的公差为，由且，可知，于是是的二次函数，可设，其中是抛物线的顶点的横坐标． 由且，得