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拓展射影数量公式内涵 丰富空间距离求法 潮州市高级中学教师 谢卓昭 自从教材引进空间向量之后，立体几何的解题方法发生了根本性变化，主要就是把空间图形的性质代数化，把空间问题的研究从“定性”推到“定量”，然后用运算推理来解决立几问题。这样，把本来比较复杂的几何综合推理转化为向量代数运算推理，简化了解题思路，使题的解答易于切入，提高解题效率，也更适合学生的思维习惯，提高解题的可操作性，把原来比较难学的内容变得易学，提高学习的兴趣。 因此，用向量法解答立几问题越来越受学生们的青睐，也引发他们对向量法进行探究。而其中问题最多的是“怎样用向量法求解空间距离”这一内容，很多学生心中无底，或一知半解，甚至不知怎样解。针对学生的实际，我们很有必要对这一解法进行整理和释疑。 对于空间距离，其中最基本又是最难求的应算异面直线距离和点面距离，这两种距离有一共同特点，就是都与垂直有关，这让我们联想到向量射影数量公式 ，这一公式其实也是“向量法求解空间距离”的理论依据。下面我们就根据这一公式来谈一谈如何用向量法求解上面提到的两种空间距离。 一、射影数量公式的推导及说明 如图1，已知向量 和轴 ， 是 上与 同方向的单位向量。作点 A在 上的射影 作点 B在 上的射影 ，则 。 证明：在 α内过点 A作 ∥ ， 且使 = ，得点 C。连结 ， 。 ∵ ∥ ，且 = ， ⊥ ， ∴四边形 为矩形。 ∴ ⊥ 。又 ⊥ ， ∴ ⊥平面 。又 ∥ ， ∴ ⊥平面 。 ∴ ⊥ ，故 为 。 在 中， ，而 等于 或其补角，所以 = = = ，等式得证。 当射影数量公式的各部分都取绝对值，那 就是向量 在轴 上的射影长。另外，从射影的定义及公式的推导可知， 具有一定的几何意义，并可作如下理解：第一种，线段 是异面直线 与 的公垂线段， 就是它们的距离；第二种，结合点面距离的几何求法，由公式推导过程易知图1中的 是点 A到平面 的距离，而 = ，故 事实上也就是点 A到平面 的距离。 二、公式 的意义 上面的说明就是说，只要能通过数量积求得射影长 ，就能得到相应的两异面直线的距离或点到平面的距离。而从上面的公式推导过程我们可获得两种距离的向量统一求法，其解题基本步骤如下： ⒈异面直线型：①先求两异面直线的一个公共法向量 ，设其单位向量为 ；②在两异面直线上各取一点，如 A和 B，得到一向量，如 ；③计算 ， d即为所求距离。 ⒉点到平面型：①先求平面的一个法向量 ，设其单位向量为 ；②在平面内任取一点 B和已知点 A确定一向量，如 ；③计算 d = ， d即为所求距离。 另外，顺便说明一下，当法向量不易找时，可通过以下方法求之：若为异面直线型，先求出两异面直线的方向向量 ， ；若为点到平面型，先求出平面内不共线的两个向量 ， 然后由 ⊥ 和 ⊥ ，得一方程组；最后解此方程组可得 的一个解，即为所求法向量。 三、距离公式 的应用举例 我们知道，向量的计算有两种途径：其一是：“基底法”，即通过选择基底来表示向量；其二是“坐标法”，即通过建立适当的直角坐标系，计算出相关点的坐标，进而写出向量的坐标。考虑到方便计算的需要，通常我们采用坐标法。下面就用两个具体的例子来介绍距离公式 的具体用法。 例1，如图2，已知 为正方形， ⊥平面 ， = = 1， E， F 分别是 ， 的中点，求异面直线 与 的距离。 解：如图所示，以 D为原点，