微积分在中学数学中的应用（修）.doc

微积分在中学数学中的应用 潮安县古巷中学 洪芝璇 1　因式分解 用导数和积分进行因式分解,常可使解法简便、巧妙. 例1　分解因式(x-y)3+(y-z)3+(z-x)3. 解:把x看作变量,y与z看作常量(参数). 令 f(x)=(x-y)3+(y-z)3+(z-x)3,求f(x)对x的导数,得 (x)=3(x-y)2-3(z-x)2=3(x2-2xy+y2)-3(z2-2zx+x2) = -6(y-z)x+3y2-3z2. 对上式取不定积分,得 f(x)= ==-3(y-z)x2+3(y2-z2)x+C. 其中C是常数.此处C是含有变量y与z的代数式,从而得恒等式(x-y)3+(y-z)3+(z-x)3=-3(y-z)x2+3(y2-z2)x+C. 上式中令x=0,得C=-y3+(y-z)3+z3,于是 f(x)=(x-y)3+(y-z)3+(z-x)3 =-3(y-z)x2+3(y2-z2)x-y3+(y-z)3+z3=-3(y-z)(x-y)(x-z). 2　代数式化简 用导数、积分解此类题,有时可使解法简便. 例2　化简(x+y+z)3-(x+y-z)3-(y+z-x)3-(z+x-y)3. 解:把x看作变量,y与z看作常量.令 f(x)=(x+y+z)3-(x+y-z)3-(y+z-x)3-(z+x-y)3, (1) 对x求导得 (x)=3〔(x+y+z)2-(x+y-z)2-(y+z-x)2-(z+x-y)2〕=24yz. (2) 上式两端取不定积分得f(x)==24xyz+C. 由(1),(2)得(x+y+z)3-(x+y-z)3-(y+z-x)3-(z+x-y)3=24xyz+C. (3) 由(3)式,令x=0,得C=(y+z) 3-(y-z) 3-(y+z) 3-(z-y) 3=0, 故原式=24xyz. 3　求值与求和 例3　计算1++3-(1+-)3-(+-1)3-(+1-)3. 解:令x=1,y=,z=.同例2,有 f(x)=(x+y+z) 3-(x+y-z)3-(y+z-x)3-(z+x-y)3=24xyz. 从而,原式=24xyz=24. 例4　求1-+-+…+(-1)n+…的和. 解:已知对 x∈(-1,1)有1-x3+x6-x9+…+(-1)nx3n+…= x∈(-1,1),对上式两端从0到x取积分有 -+ -…+ +… =x- + -…+(-1)n +…　　 = =ln +arctg+, 即x- + -…+(-1)n +…=ln+arctg+, (*) 由于x- + -…+(-1)n +… 在x=1时为交错级数(-1)n,由莱布尼兹判别法知其收敛,故其和函数(*)式右端在x=1连续.令x=1,有 1-+-+…+(-1)n+… =ln2+arctg+ =ln2+. 4　证明不等式 　 不等式的证明方法多种多样,没有统一的模式.初等数学常用的方法是恒等变形、数学归纳法、利用二次型、使用重要不等式等,往往有较高的技巧.利用微积分的方法证明不等式,常利用函数的增减性等有关知识,它可使不等式证明的过程大大简化,技巧性降低,但也没有固定模式. 例5　若x0,试证: ln (1+x)x. 证明：设f(x)=ln(1+x)则f(x)在[0,x]上满足拉格朗日中值定理,故存在 ∈(0,x)使()=　 即 = ∵0x,　 ∴1 ∴ 1即　 ln (1+x)x .