01第一节微分方程的基本概念.docVIP

第八章 常微分方程与差分方程 对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉. -------傅里叶 微积分研究的对象是函数关系，但在实际问题中，往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系，从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，即微分方程. 通过求解这种方程，同样可以找到指定未知量之间的函数关系. 因此，微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具. 如果说“数学是一门理性思维的科学,是研究、了解和知晓现实世界的工具”，那么微分方程就是显示数学的这种威力和价值的一种体现.现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程问题. 例如，物体的冷却、人口的增长、琴弦的振动、电磁波的传播等，都可以归结为微分方程问题. 这时微分方程也称为所研究问题的数学模型. 微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系. 本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的微分方程的求解方法及线性微分方程解的理论. 第一节 微分方程的基本概念 分布图示 ★ 引 言 ★ 微分方程的概念 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 微分方程解的概念 ★ 例5 ★ 例6 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题8-1 内容要点： 一、微分方程的概念 我们把未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程. 类似地，未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程， 本章我们只讨论常微分方程. 常微分方程的一般形式是: (1.5) 其中为自变量，是未知函数. 如果能从方程(1.5)中解出最高阶导数，就得到微分方程 (1.6) 以后我们讨论的微分方程组主要是形如(1.6)的微分方程，并且假设(1.6)式右端的函数在所讨论的范围内连续. 如果方程(1.6)可表为如下形式: (1.7) 则称方程(1.7)为阶线性微分方程. 其中 和均为自变量的已知函数. 不能表示成形如(1.7)式的微分方程，统称为非线性方程. 在研究实际问题时，首先要建立属于该问题的微分方程，然后找出满足该微分方程的函数（即解微分方程），就是说，把这个函数代入微分方程能使方程称为恒等式，我们称这个函数为该微分方程的解. 更确切地说，设函数在区间上有阶连续导数，如果在区间上，有 则称函数为微分方程(1.5)在区间上的解. 二、 微分方程的解 微分方程的解可能含有也可能不含有任意常数. 一般地，微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解. 含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解（一般解）. 所谓通解的意思是指，当其中的任意常数取遍所有实数时，就可以得到微分方程的所有解（至多有个别例外）. 注：这里所说的相互独立的任意常数，是指它们不能通过合并而使得通解中的任意常数的个数减少. 许多实际问题都要求寻找满足某些附加条件的解，此时，这类附加条件就可以用来确定通解中的任意常数，这类附加条件称为初始条件，也称为定解条件. 例如，条件(1.2)和(1.4)分别是微分方程(1.1)和(1.3)的初始条件. 带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题. 微分方程的解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线. 例题选讲： 微分方程的概念 例1 (E01) 设一物体的温度为100℃, 将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 根据冷却定律:物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比, 设物体的温度与时间的函数关系为 则可建立起函数满足的微分方程 其中为比例常数. 这就是物体冷却的数学模型. 根据题意, 还需满足条件 例2（E02）设一质量为的物体只受重力的作用由静止开始自由垂直降落. 根据牛顿第二定律：物体所受的力等于物体的质量与物体运动的加速度成正比，即，若取物体降落的铅垂线为轴，其正向朝下，物体下落的起点为原点，并设开始下落的时间是，物体下落的距离与时间的函数关系为，则可建立起函数满足的微分方程 (1.1) 其中为重力加速度常数. 这就是自由落体运动的数学模型. 根据题意，还需满足条件 (1.2) 例3（E03）如果设某商品在时刻t的售价为P, 社会对该商品的需求量和供给量分别是P的函数 则在时刻t的价格对于时间t的变化率可认为与