数学的特点与数学家的思维.docVIP

有人说数学家都是书呆子，因为在这些人眼里只有那些走路时撞到大树上还不知道是怎么一回事的人才配当数学家；也有人说数学家爱钻牛角尖，因为许多“一目了然”的东西他们还不相信，非得挖空心思去找证明方法；更有人说数学家“迂腐”得很，因为他们只懂得“一是一、二是二”，没有一点“灵活”性……到底数学家是什么样的人群呢？我想只有当你对数学的特点有一些了解之后，才能找到比较准确、清晰的答案。 那么，数学科学与其他自然科学有没有什么本质的差异？当然有。这些差别主要表现在数学理论的严密性与抽象性上。所谓严密性就是指数学中的一切结论只有经过用可以接受的证明证实之后才能被认为是正确的。在数学里只有“是”与“非”，没有中间地带。要说“是”必须证明，要说“非”也应举出反例。这个事实决定了数学家的思维方式与物理学家或其他工程技术专家的思维方式有所不同。数学家海姆（D·T·Haimo）在Experimentation and conjecture are not enough（实验与猜想是不够的）一文中说了一句笑话，他说：“物理学家认为所有奇数都是素数，他们得到这个结论的证据是，3是素数，5是素数，7是素数，9是实验错误，11是素数……证毕。”当然，物理学家不会这样。所以，Haimo接着说“这话言过其实了”。两年多以前，我国有一位著名的自动控制工程专家、中国科学院院士曾撰文宣称“歌德巴赫猜想不要再猜了”，理由是他用计算机验算过，每个大于或等于6的偶数都可以表示成两个奇素数之和，并且分解式不一定是唯一的，偶数越大，分解式越多。按照他的思维方式，他的结论当然是对的。如果说不对，你能举出一个反例吗？但是数学家不这样想。其实在歌德巴赫猜想提出之后，已经有许多人验证过了，正因为找不到反例，所以才要证明这个猜想是正确的。何况证明过程也是在发展数学。数学家们在没有弄清“是”或“非”之前，决不放弃探索，当他们根据自己的直觉和判断认为没有足够的理由说明这个猜想是正确时，就设法证明它不成立。有一个例子很说明问题，即四色地图问题。1852年Francis Guthrie提出：“任何地图上如果邻接地区都不只是在一点处相邻，那么要区别地图上所有的国家所需的最小色数是四。”许多著名数学家为证明这个结论奉献了大量的时间和精力。1976年，Kenneth Appel和Wolfgang Haken给出了一个证明，他们把这个问题归结为考虑大约2000个不同地图的特征，然后编制程序，由计算机确定结果。使用计算机来解决数学问题，虽然是非传统的，但也不失为一种重要的途径。不过数学家们还希望能找到一个分析的证明。为什么呢？因为数学家追求完美。 数学理论的严密性就要求学数学的人在学习过程中，不仅要做习题，掌握解题的方法，而且要重视和学会证明结论的思想和技巧。强调证明，不是说不要几何直观（直觉），不要例证（验证）。在学习数学、研究数学时，直观和验证都是重要的，能启发人们的思维。但直观和例证不能代替证明。 数学的抽象性是人所共知的，因为数学所研究的“形”和“数”与现实世界中的物质内涵没有直接联系。例如，1+1=2，可以是1个人加1个人等于2个人，也可以是1头牛加1头牛等于2头牛；一个球面既可以代表一个足球，也可以代表一个乒乓球；一元函数y=f(x)的导数dy/dx可以表示做变速直线运动的质点的瞬时速度，也可以表示平面曲线切线的斜率，还可以表示质量分布非均匀细棒的密度等。数学的抽象性既表现在数学的结论中，也体现在数学研究过程之中。 数学的一个迷人的特点，就是存在某些完全违背直观的结论，这些结论虽能令人信服地被证明，但却超出人们的想象，与情理的推断似乎相矛盾。最简单的例子在微积分学内就能找到。由双曲线y=1/x在x≥1的部分绕x轴旋转所得的旋转曲面称为Gabriel喇叭（如下图所示），利用积分法就能证明这个喇叭所围成的体积是有限的，而它的表面积却是无限的。直观地说，我们可以用有限的涂料把喇叭填满， 但绝不可能有足够的涂料把它的表面涂满。又如，1914年，Felix Hausdorff证明了：一张球面，除了一个可数集外，可以分解为有限块，并且可以通过刚体运动重新拼合成两张球面，每张球面都由原球面的半径。十年以后，Stefan Banach和Alfred Tarski证明了实心球也有同样的性质，而且无需除掉一个可数集（这是“两个集合等度可分解”的一个特例）。按照他们的结果，地球可以分解为有限多块，然后再拼成和原来地球一样大的两个地球。如果有人会拼，人类生存的空间就扩大了一倍，不会象现在这样拥挤了。后来，John Von Neumann对这个惊人的事实作了补充，证明了：把一张球面分解为两张同样半径的球面，只需分成九块。1947年，Abraham Robinson又作了改进，证明分成五块就够了。5块是不是最好的结果？或许