变分法上的最速降线之研究.pdf

九十二年度中華技術學院論文發表研討會 中華民國92 年4 月23 日 變分法上的最速降線之研究 Calculus of Variation -the Brachistochrone Problem 李柏堅 Bor- Jian Lee 中華技術學院共同科講師 中文摘要 這個家族出了許多偉大的數學家，與 brachistochrone問題有關的，就是柏努利 1 2 考慮點 A和位置較低的點 B 以一條直線 兄弟約翰 (Johann)○和雅各 (Jacob)○ ，十 相連，在不考慮摩擦力的前提下，一顆 七世紀末，弟弟Johann Bernoulli 公開徵 3 靜止的滾珠由 A點滑向 B點，現在我們 求問題解答○ ，他自己也求出了解答， 直線換成曲線試試看，以哪種線作為路 不過他採用的方法用到物理觀念，而哥 徑，花費的時間可以最少 ? 花費的時間最 哥 Jacob Bernoulli用的方法，就是現在我 少的曲線就稱為最速降線。伽利略認為 們所用的變分法 ，雖然兩人解出的答案 最速降線必是圓弧，但約翰白努利不認 一樣 ，為了這個問題的解法，弟弟約翰 為如此，為了解決這個問題，柏努利開 受到哥哥的批評，兄弟感情弄到決裂。 在本文中，我們先將早期以物理的角度 創了變分學這門學問。 證明方式所需要的物理定律、計算過程 Abstract 做一完整說明 (Johann 法) ，並將所得結果 Consider a point A is joined by a straight 和其他常見的曲線做一比較。最後再看 wire to a lower point B, and that a bead 看以變分方式所得的結果 (Jacob 法)有何 is allowed to slide without friction down 不同? 本文以通俗數學和歷史的角度探索 the wire from A to B. We can also consider 變分法的由來，再將變分法的應用及發 the case where the wire is bent into an 展做一簡單介紹。 arbitrary curve. In which case does a bead take the least time? The curve with the 定義： least time is called the brachistochrone. x a (θ−sinθ) Gali