第四章中值定理及导数应用.doc

第四章 中值定理及导数应用 在这一章,我们应用上一章所学的导数来研究函数以及曲线的某些形态,并利用这些知识来解决一些实际问题,为此,我们先要学习微分学的几个中值定理,它们是导数应用的理论基础。 §4.1 中值定理 我们先讲罗尔(Roll)定理,然后根据它推出拉格朗日(Lagrange)中值定理和柯西定理。 3.1.1 罗尔定理 首先,我们观察图3-1-1。设曲线弧是函数的图形。这是一条连续的曲线弧,除端点外处处有不垂直于轴的切线,且两个端点的纵坐标相等,即。可以发现在曲线弧的最高点或最低点处,曲线有水平的切线。如果记点的横坐标为,那么就有。现在用分析语言把这个几何现象描述出来,就可得下面的罗尔定理。为了应用方便,先介绍费马引理。 图4-1-1 费马引理 设函数在点的某邻域内有定义,并且在处可导,如果对任意的,有 (或) 那么。 证 不妨设时, (如果,可以类似地证明)。于是,对于,有 从而当时, 当时, 因存在，存在，。 所以, 。证毕。 通常称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点,临界点)。 罗尔定理 若函数满足： (1) 在闭区间上连续； (2) 在开区间内可导; (3) 在区间端点处的函数值相等,即 , 那么在内至少存在一点，使得。 证 由于在闭区间上连续，根据闭区间上连续函数的最大值最小值定理,在闭区间上必能取得最大值M和最小值m，此时，又有二种情况： (1)，即在闭区间上取得最大值和最小值相等，从而知，此时为常数：，由此,,有，因此，任取内，都有。 (2)。因为在区间端点处的函数值,所以和这两个数必有一个不等于或，不妨设（对同理证明），这时必然在开区间内存在一点，使得。因此,即f(x)在点得最大值,即,,有,从而由费马引理可知。定理证毕。 我们再对罗尔定理的三个条件作如下几点说明: 1． 定理中的三个条件缺一不可，否则定理不一定成立，即指定理中的条件是充分的，但非必要。试看下例: (1)端点的值不等(图3-1-2) (2)非闭区间连续(图3-1-3) (3)非开区间内可导(图3-1-4) (4)条件是充分而不是必要的(图3-1-5) 图3-1-5中的函数对定理中的三个条件均不满足,但也存在一点，使得 2．罗尔定理中的点不一定唯一。 3．定理的几何意义：在两端高度相等的连续曲线弧上,若除端点外处处有不垂直于轴的切线存在，则此曲线弧上至少有一点处的切线平行于轴。 3.1.2 拉格朗日中值定理 去掉罗尔定理中相当特殊的条件 ，，。 满足如下两个条件: 在闭区间上连续； 在开区间内可导； 则至少存在一点， （1） 在证明之前，是弦的斜率，处的切线斜率。上至少有一点，点处的切线平行于弦。 ，，。，AB与弦AB所代表的函数之差就行了。 在上连续，可导，，， ， ， 亦即 。 拉格朗日中值定理是微分学中最基本的一个定理，。 此式也称为拉格朗日中值公式。 3:当时式子(1)仍然成立。 处有一个增量，得到点，由于可正可负，，，，介于 与 之间”,可表示成为：。 在以和为端点的区间上应用拉格朗日中值定理，有 即 这准确地表达了和这两个增量间的关系，故该定理又称为又称为有限增量定理。它在微分学中占有重要地位,有时也称为微分中值定理。它精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这个区间内的某点处的导数之间的关系。 由定理还可得到下列结论: 推论1:如果在区间上的导数恒为零，则在上是一个常数。 证 在中任取两点，。在上使用拉格朗日中值定理得 又在上，，从而在上，， 所以 即 可见，在上的任意两点的函数值均相等,因而在上是一个常数 3.1.3 柯西中值定理 若函数、满足下述三个条件： (1) 在 连续； (2) 在 可导； (3) ， ， (2) 柯西中值定理的几何意义也十分明显， 曲线上点 处的切线斜率为 弦的斜率为 假定点对应于参数，点处切线平行于弦， 证 首先注意到， 其中，，，。 类似拉格朗日中值定理的证明，取弧AB与弦AB所代表的函数之差。 显然，：；上连续；内可导且 根据罗尔定理，，， 故 。 注:柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，事实上，令，就得到拉格朗日中值公式。 3.1.4 中值定理运用举例 例1设多项式的导函数没有实根，证明最多只有一个实根。 证 假设多项式函数有两个实根, 在上满足罗尔定理的三个条件,则在区间内至少存在一点,使,即是的实根,这与已知没有实根相矛盾。故最多只有一个实根。 试证： 时， 。 显然在区