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§2空间点、直线、平面之间的位置关系 一、一周知识概述 　　本节内容主要是空间点、直线、平面之间的位置关系，在认识过程中，可以进一步提高同学们的空间想象能力，发展推理能力．通过对实际模型的认识，学会将文字语言转化为图形语言和符号语言，以具体的长方体中的点、线、面之间的关系作为载体，使同学们在直观感知的基础上，认识空间中点、线、面之间的位置关系，点、线、面的位置关系是立体几何的主要研究对象，同时也是空间图形最基本的几何元素． 二、重难点知识归纳 1、平面 　　(1)平面概念的理解 　　直观的理解：桌面、黑板面、平静的水面等等都给人以平面的直观的印象，但它们都不是平面，而仅仅是平面的一部分． 　　抽象的理解：平面是平的，平面是无限延展的，平面没有厚薄． 　　(2)平面的表示法 　　①图形表示法：通常用平行四边形来表示平面，有时根据实际需要，也用其他的平面图形来表示平面． 　　②字母表示：常用等希腊字母表示平面． 　　(3)涉及本部分内容的符号表示有： 　　①点A在直线l内，记作；　　②点A不在直线l内，记作； 　　③点A在平面内，记作；　　④点A不在平面内，记作； 　　⑤直线l在平面内，记作；　　⑥直线l不在平面内，记作； 　　注意：符号的使用与集合中这四个符号的使用的区别与联系． 　　(4)平面的基本性质 　　公理1：如果一条直线的两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内． 　　符号表示为：． 　　注意：如果直线上所有的点都在一个平面内，我们也说这条直线在这个平面内，或者称平面经过这条直线． 　　公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 　　符号表示为：直线AB存在唯一的平面，使得． 　　注意：“有且只有”的含义是：“有”表示存在，“只有”表示唯一，不能用“只有”来代替．此公理又可表示为：不共线的三点确定一个平面． 　　公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 　　符号表示为：． 　　注意：两个平面有一条公共直线，我们说这两个平面相交，这条公共直线就叫作两个平面的交线．若平面、平面相交于直线l，记作． 　　公理的推论： 　　推论1：经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面． 　　推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面． 　　推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 2．空间直线 　　(1)空间两条直线的位置关系 　　①相交直线：有且仅有一个公共点，可表示为; 　　②平行直线：在同一个平面内，没有公共点，可表示为a//b; 　　③异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点． 　　(2)平行直线 　　公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 　　符号表示为：设a、b、c是三条直线，． 　　定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等． 　　(3)两条异面直线所成的角 　　注意：①两条异面直线a，b所成的角的范围是（0°，90°]． 　　②两条异面直线所成的角与点O的选择位置无关，这可由前面所讲过的“等角定理”直接得出． 　　③由两条异面直线所成的角的定义可得出异面直线所成角的一般方法： 　　(i)在空间任取一点，这个点通常是线段的中点或端点． 　　(ii)分别作两条异面直线的平行线，这个过程通常采用平移的方法来实现． 　　(iii)指出哪一个角为两条异面直线所成的角，这时我们要注意两条异面直线所成的角的范围． 3．空间直线与平面 　　直线与平面位置关系有且只有三种： 　　(1)直线在平面内：有无数个公共点； 　　(2)直线与平面相交：有且只有一个公共点； 　　(3)直线与平面平行：没有公共点． 4．平面与平面 　　两个平面之间的位置关系有且只有以下两种： 　　(1)两个平面平行：没有公共点； 　　(2)两个平面相交：有一条公共直线． 三、典型例题剖析 例1．在正方体的八个顶点中，共可确定(　)个平面． A．6　　　　　　B．12　　　　　　C．18　　　　　　D．20 例2．设a、b、c是空间中三条直线，下面给出四个命题，下列命题中，真命题的个数是(　) ①如果，则a//c； ②若a、b相交，b、c相交，则a、c相交； ③若a、b共面，b、c共面，则a、c共面； ④若a、b异面，b、c异面，则a、c异面． A．0　　　　　　　B．1　　　　　　C．2　　　　　　D．3 例3．一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面． 　 例4．如图，的三边AB，BC，AC平面相交，交点分别为P，Q，R，求证：P，Q，R三点在一条直线上． 　　 例5．已知：a、b是两条异面直线，直线a上的两点A、B的距离为6，直线b上的两点C、D的距离为8，AC、BD的中点分别为M、N，且MN=5．求异面直线a、b所成的角． 咨询热线：0