定积分的应用-欢迎来到重庆邮电大学理学院首页.ppt

* * 定积分的应用 习题课 定积分应用的常用公式 (1) 平面图形的面积 直角坐标情形 如果曲边梯形的曲边为参数方程 曲边梯形的面积 参数方程所表示的函数 极坐标情形 (2) 体积 x y o 平行截面面积为已知的立体的体积 (3) 平面曲线的弧长 弧长 A．曲线弧为 弧长 B．曲线弧为 C．曲线弧为 弧长 (4) 旋转体的侧面积 x y o (5) 细棒的质量 (6) 转动惯量 (7) 变力所作的功 (8) 水压力 (9) 引力 (10) 函数的平均值 (11) 均方根 二、典型例题 例1 解 由对称性,有 由对称性,有 由对称性,有 例2 解 如图所示建立坐标系. 于是对半圆上任一点,有 故所求速度为 故将满池水全部提升到池沿高度所需功为 例3 在第一象限内求曲线 上的一点， 使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的 图形面积为最小，并求此最小面积。 解 设要求的点为（x1，y1）， y1= - x12+1 , 过（x1，y1）的切线方程为 令x=0,y=0得切线的截距 : 于是，所求面积为 唯一驻点: 解 在点 处的切线l方程为 即 所围面积 令 得t=1。 又 故t=1时，S 取最小值。此时l的方程为 求曲线 的一条切线l，使该曲线与切线 l 及直线x=0， x=2所围成的图形面积最小。 故此切线方程为 又因该切线过点P（1，0），所以 即 从而，切线方程为 因此，所求旋转体的体积 解 设所作切线与抛物线相切于点 ，因 过点P(1,0)作抛物线 的切线，该切线与上述抛物 线及x轴围成一平面图形，求此图形绕x轴旋转一周所成的体积。 1. 求曲线 所围的面积. 1)求交点. 2)算面积. 2. 设平面区域D由x=0, x=1, y=a(oa1)及y=x2 围成, 试问a为何值时D的面积最小? 3. 设平面图形A由 求图形A绕直线x=2旋转一周所得旋转体的体积。 A的两条边界曲线方程分别为 及x=y 相应于[0,1]上任一小区间[y，y+dy]的薄片的体积元素为 于是所求体积为 解 A的图形如下图所示，取y为积分变量，它的变化区间为[0,1]， 所确定, 4. 曲线 和x轴围成一平面图形，求此平面图形 绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积。 解 在[1，2]上取积分元素，得 求由曲线y=x2-2x, y=0, x=1, x=3所围平面图形分别绕x 和y轴旋转一周, 所得的旋转体体积. 5. 计算曲线 上相应于 的一段弧的长度。 解 6. 求摆线 一拱（0≤t≤2π）的弧长S。 解 7. 求心形线 的全长，其中 a 0 是常数。 解 由对称性得 8. 半径为R的球沉入水中,求得上部与水面相切,球的比重 与水的相同, 问: 将球从水中取出需做多少功? 解: 建立坐标系如图. 在小区间[y, y+?y]上, o x y 对应球体的一小薄片, 要提高2R高度, 水上的行程: R+y, 则 dw=g ·(R+y)·?x2(y)dy ·1 补充