归纳法在数学解题中的应用-广东中山市中学数学网2.docVIP

归纳法在数学解题中的应用 黄永友 (广东省中山市小榄实验高级中学 528415) 摘要：归纳推理是合情推理的一种，是人们从特殊到一般地认识事物本质的一种常用的思维推理思想。在解数学题时，我们可以通过解决特殊化的的问题，归纳出解决一般性问题的方法，在许多情况下，用这种归纳法解数学题还是最好、最快的方法。 关键词：特殊化、归纳法、简便快捷 在高中数学的新课程标准中，增加了合情推理和演绎推理一节内容。归纳推理是合情推理的一种，是人们从特殊到一般地认识事物本质的一种常用的思维推理思想。学好这种推理方法对解数学题有很大的好处，我们可以通过解决特殊化的的问题，归纳出解决一般性问题的方法。在许多情况下，用这种归纳法解数学题还是最好、最快的方法。 1　归纳法在解选择题中的应用 归纳法在解选择题中的应用主要表现为“特殊值法”。在选择题中，若对于某一大类条件，结果都有四个选项中的唯一项成立，那么用一个特殊化的条件（满足题目条件）代入选项，若可检查出唯一正确的选项，那么它就是答案。这种解法比由题目的条件、定理、公式用演绎推理要快捷得多。 例1（1994上海，12）．若０＜ａ＜１，则下列不等式中正确的是（　　）A. B. C. D.. 分析：可用特殊值法．取，则. 因为是减函数，又，所以，故选A． 评：在解不等式的选择题中，很多题目都可用特殊性值法． 例2（1994全国，4）．设是第二象限角，则必有（　） A.　　B.　C. D.. 解法一：特殊值法．因为对于所有第二象限角，都有这四个选取项中唯一的一项正确，可取时，则有，显然可排除B、D；再取时，有，比较选项A、C，可知只有选项A是正确，故选A． 解法二：因为是第二象限角，所以有： 　 当ｋ为偶数时，有； 当ｋ为奇数时， 由三角函数和单位圆的性质，作出单位圆（如图１），观察可知：只有选项A是正确的． 评：从形式上看，这题解法二说理似乎是十分合理，但是其推理很难让人明白；而解法一只是用二个特殊角进行计算它们的三角函数值，进行比较就可知答案了，所以解法一快捷得多． 例3（1997上海，6）．设，那么等于（ 　）． A.　　 　B. C.　　　D． 解法一：特殊值法．取n=1时，有 ，只有选项D正确，故选D． 解法二：因为 故选D． 评：显然，这题的解法一采用特殊值法计算更为简便、快捷. 例4（2004全国IV,12）． 设函数为奇函数，且则f(5)等于（ ）． A．0　　 　B．1 　 　C．　 　 　D．5 分析：可用特例分析法． 由于函数为奇函数，且 可取 ，则有： 故选C． 评：这题也可用抽象函数的代换法，但相对是比较难理解。 2 归纳法在解填空题中的应用 与解选择题类似，解填空题时也不需要写出解答过程，如果我们把问题中的不确定的量、位置特殊化，可以直接、简捷地得到答案．这也是由特殊到一般的归纳推理思想的应用． 例5．如图2所示，P为椭圆上的点（非长轴的端点），为焦点，A为△的内心，PA的延长线交于B，则BA：AP的值为（ ）． 解：把点P取在ｙ轴上（如图3），则A、B也在y轴上，且B、O重合. 有由角平分线的性质可得： 评：此法避免了繁锁的计算，我认为是最好的方法. 3?????归纳法在解解答题中的应用 在解某些解答题时，先对问题中的条件进行特殊化处理，通过对特殊条件下的解题的思路和方法的推广与延伸，可以帮助我们发现一般问题的结论和解法． 例6（2002全国理，21）．设数列满足 (Ⅰ)当时，求，并由此猜想出的一个通项公式； (Ⅱ)当 时，证明对所有的，有：⑴ ； ⑵略 解：(Ⅰ)将 和n=1、2、3分别代入递推公式 ， 可求出： 由此可猜想出： (Ⅱ) ⑴可用数学归纳法进行证明，过程：略． 评：这题是典型的用不完全归纳法和数学归纳法进行解题的题目． 例7（2004江苏，20）．设无穷等差数列的前ｎ项和为． (Ⅰ)若首项，公差d=1时，求满足的正整数ｋ； (Ⅱ)求所有的无穷等差数列 ，使得对于一切正整数ｋ都有 成立． 分折：在解这题的第二问时，如果我们用等差数列前ｎ项和公式代入题目的条件 ，化成关于ｋ的恒等式后再求解，即解 中的，由于这一个方程中有三个未知数，要解出其中的两个，这简直就象走进死胡同． 因为求所有的无穷等差数列 ，使得对于一切正整数ｋ都有 成立，如果我们可将ｋ特殊化，由ｋ=1、2时的情形，就可以顺利地找到所有这样的等差数列． 解：(Ⅱ)设无穷等差数列的公差为ｄ． 分别取k=1、2代入中，得： 　 即 解（*）得 或 代入检验后，符合条件的有三组解： 所以，满足条件的无穷等差数列有： (1) ：