7–4二向应力状态分析—图解法7–5、7–8、7–9.ppt

P221 例题7.5 课本P239 例题7.9 圆筒表面上k点处沿径向 (z轴) 的应变为 同理可得圆筒中任一点 ( 该点到圆筒横截面中心的距离为 ? ) 处的径向应变为 因此, 该圆筒变形后的厚度并无变化, 仍然为 t =10mm . （拉伸） （负） b h z b=50mm h=100mm x y z a A §7–9 复杂应力状态的应变能密度 一、应变能密度计算公式 1 、 单轴应力状态下, 物体内所积蓄的比能为 按叠加原理得 三向应力状态下的应变能密度 ?2 ?3 ? 1 (a) ?m ?m ?m (b) ?3 -?m ? 1 -?m ?2 -?m (c) ＝ 体积改变能密度 ，畸变能密度（形状改变能密度 ） d u 体积应变 ，形状变化 畸变能密度（形状改变能密度） ( ) ( ) ( ) [ ] 2 1 3 2 3 2 2 2 1 6 1 s s s s s s m - + - + - + = E u d 例9 用能量法证明三个弹性常数间的关系。 ?纯剪单元体的应变能密度为： ?纯剪单元体应变能密度以主应力表示为： txy A ?1 ?3 * 1、 莫尔圆的概念 §7–4 二向应力状态分析—图解法 当斜截面随方位角 ? 变化时, 其上的应力 ?? ， ?? 在 ? - ? 直角坐标系内的轨迹是一个圆 。 圆心的坐标为(the coordinates of MOHR circle’s center) 半径为 此圆称为 应力圆, 或称为莫尔圆 ? ? o C 2、应力圆作法 在 ? - ? 坐标系内 ,选定 比例尺 o ? ? o ? ? D1 ?x B1 ?x 量取 OB1 = ? x B1D1 = ? x 得 D1 点。 o ? ? D2 ?y D1 ?x B1 ?x 量取 OB2 = ?y B2D2= ?y 得 D2 点 ?y B2 该圆的圆心 C 点到 坐标 原点的 距离为 半径 该圆就是相应于该单元体 应力状态的应力圆。 o ? ? D2 ?y D1 ?x B1 ?x ?y B2 C D1 点的坐标为 ( ?x , ?x ) 因而 D1 点代表单元体 x 平面（即横截面）上 的应力 。 o ? ? D2 ?y D1 ?x B1 ?x ?y B2 C 点面之间的对应关系：单元体某一面上的应力，必对 应于应力圆上某一点的坐标。 说 明 夹角关系：圆周上任意两点所引半径的夹角等于单 元体上对应两截面夹角的两倍。两者的转向一致。 2? A B ? ? ? o c §7–5 三向应力状态分析 一、空间应力状态的概念 Y, Z 平面的定义类似。 1、X 平面：法线与 X 轴平行的平面. x y z o 前面 右侧面 上面 第一下标 第二下标 ?xy 表示 x 平面上，沿 y 方向 的剪应力。 第一下标表示剪应力所在 的平面。 第二下标表示剪应力的方向。 x y z o 前面 右侧面 上面 因而独立的应力分量是 6个 根据剪应力互等定理数值上有 x y z o 前面 右侧面 上面 二、 应力状态的分类 空间应力状态: ?1 ，?2 ，?3 均不等于零 平面应力状态:?1 ，?2 ，?3 中有一个等于零. 单轴应力状态:?1 ，?2 ，?3 中只有一个不等于零 已知：受力物体内某一点处三个主应力 ?1、?2、?3 。 利用 应力圆 确定该点的最大正应力和最大切应力, 。 三 、 空间应力状态下的最大正应力和最大切应力 若受力构件内一点处的三个主应力都不等于零，则该点处于三向应力状态。其主应力为 应力圆 平行于s3的方向面－其上之应力与s3无关，于是由s1 、 s2可作出应力圆. s1 x y z 图a s2 s3 图b t max （1）弹性理论证明，图 a 单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图 b 的应力圆上或阴影区内的一点 （2）整个单元体内的最大剪应力为 最大正应力和最大剪应力 从三向应力圆中可以看出，最大正应力，最小正应力及最大剪应力分别为 注意其位置？ §7–8 广义胡克定律 一、单拉下的本构关系 x y z sx 二、纯剪的本构关系 x y z ? x y 三、复杂状态下的本构关系 x y z sz sy txy sx 依叠加原理,得 主单元体本构关系 s1 s3 s2 ?1 ?2 ?3 a1 a2 a3 构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用? 表示。 各向同性材料在三向应力状态 下的体积应变 五、体积应变与应力分量间的关系 s1 s3 s2 dx dz dy 体积应变： 代入本构关系，得到体积应变与应力分量间的关系: 例题4：壁厚 t =10mm , 外径 D=60mm 的薄壁圆筒,