§23一维基本形的射影对应.pptVIP

* § 2.3 一维基本形的射影对应 一、透视对应(中心射影) 二、一维射影对应的综合法定义 三、射影对应成为透视对应的条件 § 2.3 一维基本形的射影对应 四、射影对应的代数定义 定义2.7 设在两个点列上各取定齐次坐标系. 称由非奇异线性对应 决定的两点列间的对应为射影对应. 其中(x1, x2)与(x1, x2)为任一对对应点的齐次坐标, ρ为非零比例常数. (2.10)也常写成 定理2.15 代数定义?Steiner定义. 证明. (略, 见教材). 注. 相差一个非零比例常数的二阶非异矩阵为同一个一维射影对应的矩阵. § 2.3 一维基本形的射影对应 四、射影对应的代数定义 注1. 当不涉及无穷远元素时, (2.10)可以写成非齐次形式, 即 或 注2. 对(2.10)中比例常数ρ的理解. 注3. 由(2.10)理解定理2.12. 相异的三对对应元素唯一确定一个射影对应. 例2. (P.66, 例2.11)求射影对应式, 使l上的点(1, 0), (2, 1), (4, 1)依次对应于l上的点(1, 0), (–1, 1), (1, 1). § 2.3 一维基本形的射影对应 四、射影对应的代数定义 例2. 求射影对应式, 使l上的点(1, 0), (2, 1), (4, 1)依次对应于l上的点(1, 0), (–1, 1), (1, 1). 解. 设所求对应式为 将已知三对对应点的坐标分别代入, 得 xi xi (1, 0) (1, 0) (2, 1) (–1, 1) (4, 1) (1, 1) 6个方程, 7个未知数的齐次线性方程组. § 2.3 一维基本形的射影对应 四、射影对应的代数定义 求解过程：消去ρi , 求出aij的一组比值即可. 代入 解得 于是, 所求对应式为 § 2.3 一维基本形的射影对应 例3. (P.67 Ex. 6)如果三角形ABC的边CB, CA, AB分别通过在同一直线上的三点P, Q, R, 又顶点B, C各在一条定直线上. 求证：顶点A也在一条定直线上. 例4. (P.67 Ex. 8)设两直线l1, l2交于点O, 两定点S1, S2与O共线, 动直线l经过另一定点M, 分别交l1, l2于点A1, A2. 证明：直线S1A1, S2A2的交点轨迹为一条直线. 讨论：此直线在什么条件下经过点O? 2003级期中考试题 例5. 设一变动的三点形ABC在其运动过程中, 其三个顶点A, B, C分别在共点于O的三条定直线x, y, z上, 其三条边CA, BC, AB分别经过过O的另一条定直线l上的三个定点S1, S2, S3.请根据此图至少构造出一个几何证明题, 并给出证明. 构造1.设l, x, y, z为过O的相异直线, S2, S3, O为直线l上相异的点, B为直线y上的动点, S2B, S3B分别交z, x于C, A. 求证：CA经过l上的一个定点. 构造2.设l, x, z为过O的相异直线, S1, S2, S3, O为直线l上相异的点, li为过点S3的动直线, li分别交z, x于C, A, S3A与S2C相交于B. 求证：B的轨迹为过O的一条定直线. 构造3.设l, x, z为过O的相异直线, S1, S2, S3, O为直线l上相异的点, li为过点S3的动直线, li分别交z, x于C, A, S3A与S2C相交于B. 求证：S3为l上的定点?B轨迹为过O的一条定直线.