“函数的单调性”教学设计（高中数学必修1第213节）.docVIP

“函数的单调性”教学设计（高中数学必修1第２.1.3节） —— 徐海霞 荣成市第六中学 【教学目标】 【知识目标】：使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，学会利用函数图像理解和研究函数的性质，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法． 【能力目标】通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力． 【德育目标】通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程． 【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明． 函数的单调性是学生第一次接触用严格的逻辑语言证明函数的性质，并在今后解决初等函数的性质、求函数的值域、不等式及比较两个数的大小等方面有广泛的实际应用， 【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性． 由于判断或证明函数的单调性，常常要综合运用一些知识（如不等式、因式分解、配方及数形结合的思想方法等）所以判断或证明函数的单调性是本节课的难点. 【教材分析】函数的单调性是函数的重要性质之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性的联系在一起，所以本节课在教材中的作用如下 （1）函数的单调性起着承前启后的作用。一方面，初中数学的许多内容在解决函数的某些问题中得到了充分运用，函数的单调性与前一节内容函数的概念和图像知识的延续有密切的联系；函数的单调性一节中的知识是它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础。 （2）函数的单调性是培养学生数学能力的良好题材，这节课通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的。教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格证明方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系。同时还要综合利用前面的知识解决函数单调性的一些问题，有利于学生数学能力的提高。 （3）函数的单调性有着广泛的实际应用。在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个数学教学。 因此“函数的单调性”在中学数学内容里占有十分重要的地位。它体现了函数的变化趋势和变化特点，在利用函数观点解决问题中起着十分重要的作用，为培养创新意识和实践能力提供了重要方式和途径。 【学情分析】 【教学方法】 春兰股份线性图 ． 水位变化图 归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小． 〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣． 二、归纳探索，形成概念 对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义. 1．借助图象，直观感知 问题1：分别作出函数的图象，并且观察自变量 变化时，函数值有什么变化规律？（学生自己动手画，然后电脑显示下图） 预案：生：函数在整个定义域内 y随x的增大而增大；函数在整个定义域内 y随x的增大而减小． 师：函数的图像变化规律 生：在y轴的的左侧y随x的增大而减小．在y轴的的右侧y随x的增大而增大。 师：我们学过区间的表示方法，如何用区间的概念来表述图像的变化规律 生：在上 y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小． 师：这样表述就比较严密了，很好。)无数个如（2）中的实数，显然f(x)也随x的增大而增大，是不是也可以说函数在区间上是增函数？可这与图象矛盾啊？ 师：“无数个”能不能代表“所有”呢？比如：2、3、4、5……有无数个自然数都比大，那我们能不能说所有的自然数都比大呢？所以具体值取得再多，也不能代表所有的，思考如何体现区间上的所有值。引导学生利用字母表示数。任取且,因为,即，所以在为增函数． 进一步(2)巩固概念区间M中的任意两个值，都有。 师：我们来比较一下增函数与减函数定义中的符号规律，你有什么发现没有？ 生：增函数都为正，减函数一正一负。 师：如果将增函数中的“当时，都有”改为当时，都有结论是否一样呢？ 生：一样 师：减函数的定义是否也可以进行这样修改？ 生：可以。 师：根据刚才的分析，你们有没有发现自变量的差量与函数值的差量之间的关系？ 生：自变量的差量与相应的函数值的差量如果保持同号就可以说明其是单调递增函数，如果是异号则是单调递减函数。 师：那你们能否将定义修改地更为简洁呢？ 生：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2,若即，则函数