2015年电大本科工程数学期末复习重点资料考试小抄【精华版】.doc

电大工程数学复习资料考试小抄 线性代数 矩阵的初等行变换：1）两行互换，2）某一行乘以一个非零常数，3）某一行的K倍加到另一行。 阶梯型矩阵：1）全为0的行写在最下面，2）首非零元的列标随行标的增大而增大。如 行简化阶梯型矩阵：满足下列条件的阶梯型矩阵：1）首非零元全为1，2）首非零元所在列其余元素全为0。如： 求矩阵A的秩：A阶梯型矩阵。阶梯型矩阵非零行的行数既为矩阵A的秩即r(A) 例： 设矩阵，求矩阵的秩． 解：用初等行变换将矩阵化为阶梯形 由此可知矩阵的秩为2．　　　　 求矩阵方程AX=B：（A B）(I X)或X=B 求矩阵A的逆矩阵：（A I）（I ） 例：设矩阵A=,B=,求AB. 或解矩阵方程AX=B 解：（AB）= →→ ∴＝ 例：设矩阵，求： 解： 所以 ． 6 、n元线性方程组解的判定 1）AX=b ：r(A b)=r(A)时，方程组有解 r(Ab)≠r(A)时，方程组无解 AX=0：方程组一定有解 2）求齐次线性方程组AX=0的基础解系：将方程组中的自由未知量分别取（k，0，0）,(0,k,0),(0,0,k)形式所得到的解向量 3）求AX=0的一般解和全部解： 求AX=b的一般解和全部解： 例：设齐次线性方程组的系数矩阵经过初等行变换，得 求此齐次线性方程组的一个基础解系和通解． 解： 因为 得一般解： （其中是自由元） 令，得； 令，得． 所以，是方程组的一个基础解系． 方程组的通解为：，其中是任意常数． 例：2.线性方程组的全部解 解：（A b）=→→→方程组的一般解将常数项视为零，取得 相应齐次方程组的一个基础解系，取原方程组的一个特解故方程组的全部解 X=+C 例：当取何值时，线性方程组 有解，在有解的情况下求方程组的全部解． 解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 　　　　　 由此可知当时，方程组无解。当时，方程组有解。　　 　　此时齐次方程组化为 　　　　 　 分别令及，得齐次方程组的一个基础解系 　　　　　 令，得非齐次方程组的一个特解 　　　　　 由此得原方程组的全部解为 　　　　　　（其中为任意常数）　 概率部分　 1、假设为两事件，已知，求． 解： 2、正态分布X～ , ,P(Xb)=1-P（Xb）=1- 例：.设X～N(2,9),试求（1）P(X11);(2)P（5X8）.（已知Φ（1）=0.8413， Φ（2）=0.9772，Φ（3）=0.9987） 解：P(X11)=Φ()=Φ(3)=0.9987 P(5X8)=Φ()-Φ()=Φ(2)-Φ(1)=0.1359 3、估计区间和假设检验：对于正态分布N（ 1）方差已知：统计量U=，其中 置信区间：[,假设检验：若，则假设 成立 2）方差未知：统计量T= ， 置信区间：[,假设检验：若 ，则假设 例：. 某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布．今从一批产品里随机取出9个，测得直径平均值为15.1mm，若已知这批滚珠直径的方差为，试找出滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间． 解：由于已知，故选取样本函数 　　　　　　　 已知，经计算得 　　　　　　　　 滚珠直径均值的置信度为0.95的置信区间为，又由已知条件，故此置信区间为　　 例：对某一距离进行4次独立测量，得到的数据为（单位：米）： 15.51, 15.47, 15.50, 15.52 由此计算出，已知测量无系统误差，求该距离的置信度为0.95的置信区间（测量值服从正态分布）． 解：由于未知， 已知，经计算得 　　　　　　　　　　　　　　　　　 该距离的置信度为0.95的置信区间为，又由已知条件，故此置信区间为。 例：.据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度X～N(32.5,1.21),今从这批砖中随机地抽取了9块，测得抗断强度（单位：kg/cm）的平均值为31.12，问这批砖的抗断强度是否合格（α=0.05，μ=1.96） 解：假设Ｈ：μ＝32.5 已知ｎ＝9，＝31.12　σ＝1.1 ===3.761.96 故认为这批砖的抗断强度不合格 例：某钢厂生产了一批管材，每根标准直径100mm,今对这批管材进行检验，随机取出9根，测得它们直径的平均值为99.9mm,样本标准差s=0.47,已知管材直径服从正态分布，问这批管材的质量是否合格（检验显著性水平α=0.05，） 解：假设H:μ=100 已知：n=9 s=0.47 =99.9 故认为这批管材的质量是合格的