数值分析Ch3函数逼近与计算.docVIP

函数逼近与计算 §1. 引言 1. 引例 某气象仪器厂要在某仪器中设计一种专用计算芯片，以便于计算观测中经常遇到的三角函数以及其它初等函数。设计要求在区间中变化时，近似函数在每一点的误差都要小于某一指定的正数。 (1) 由于插值法的特点是在区间中的个节点处，插值函数与被插值函数无误差，而在其它点处。对于，逼近的效果可能很好，也可能很差。在本问题中要求在区间中的每一点都要“很好”地逼近，应用一般的插值方法显然是不可行的，龙格现象就是典型的例证。采用样条插值固然可以在区间的每一点上满足误差要求。但由于样条插值的计算比较复杂，需要求解一个大型的三对角方程组，在芯片中固化这些计算过程较为复杂。 (2) 可以采用泰勒展式解决本问题。 将在特殊点处做泰勒展开。 取其前作为的近似，即 但泰勒展式仅对附近的点效果较好，为了使得远离的点的误差也小于，只好将项数取得相当大，这大大增加了计算量，降低了计算速度。因此，从数值计算的角度来说，用泰勒展式做函数在区间上的近似计算是不合适的。 (3) 引，比如说，它仍然是一个次多项式，不一定要在某些点处与相等，但却在区间中的每一点处都能“很好”地、“均匀”地逼近。 2. 逼近问题 对，求一个多项式，使在某种衡量标准下最小。 (1) 一致逼近（均匀逼近） 无穷范数：最小。 (2) 平方逼近（均方逼近） 欧氏范数：最小。 3. 维尔斯特拉斯定理 定理 设，则对任意，有多项式，使在上一致成立。 本定理的证法很多，伯恩斯坦在1921年引入了一个多项式 。 他证明了。 伯恩斯坦多项式在自由外形设计中有较好的应用。但它有一个致命的缺点，就是收敛太慢。要提高逼近精度，只好增加多项式的次数，这在实际中是很不合算的。 切比雪夫从另一个角度去研究逼近问题。他不让多项式的次数趋于无穷，而是先把固定。对于，他提出在次多项式集合中，寻找一个多项式，使在上“最佳地逼近”。 §2. 正交多项式 一、正交多项式的概念及性质 定义1 设区间上非负函数满足： (1) 存在；(2) 对非负连续函数，若上，则称为区间上的权函数。 定义2 设，为上的权函数，则积分 称为与在上的内积。 定义3 设为上的次多项式，若满足 ， 则称为上关于权函数的正交多项式系。 定理 上的正交多项式在内有个不同的实零点。 二、Legendre多项式 1. 定义 ，称为Legendre多项式。 2. 性质 (1) 正交性：(2) 奇偶性：，即为奇偶数时，为奇偶函数。 (3)。 三、Chebyshev多项式 1. 定义 称为第一类Chebyshev多项式。 若记，即，则。 2. 性质 (1) 在上关于权正交，即 。 证 。 (2) 当为奇（偶）数时，为奇（偶）函数。 证 。 (3) 递推关系。 证 ， ， ， 即。 (4) 是次多项式，其最高项系数为。 证 由(3)易知为次多项式。 ，故 ，即最高项系数为。 §3. 最佳平方逼近 1. 问题 对，在生成的子集中求一函数，使最小。 2. 求解 记。 令，得。 ，即，，也可改写为下列矩阵形式： ——法方程。 3. 用正交多项式做最佳平方逼近 若取，因，由法方程可得， ， 从而即为的最佳平方逼近多项式。 若取，因，由法方程可得， ， ， 从而即为的最佳平方逼近多项式。 例1 用正交多项式求在上的三次最佳平方逼近多项式。 解 用Chebyshev多项式。 ， ， 故 。 用Legendre多项式。 ， 故。 §4. 函数按切比雪夫多项式展开 定义 称为切比雪夫级数或广义傅立叶级数，其中 。 根据切比雪夫多项式的性质，切比雪夫级数的部分和 可作为的近似最佳一致逼近多项式。 例2 将在上展成切比雪夫级数。 解 因为奇函数，从而也为奇函数，故 。 。 从而。 注 的泰勒展式为 。 。 。 。 可见，切比雪夫展式可用较小的项数达到泰勒展式的精度，如对要达到10位有效数字，泰勒展式要25项，而切比雪夫展式仅要10项。 §5. 离散数据的拟合与最小二乘法 1. 离散数据的拟合问题 引例1 矿井中某处的瓦斯浓度与该处距地面的距离有关，现用仪器测得从地面到井下500米每隔50米的瓦斯浓度数据，根据这些数据完成下列工作：(1) 寻找一个函数，要求从此函数中可近似求得从地面到井下500米之间任意一点处的瓦斯浓度；(2) 估计井下600米处的瓦斯浓度。 根据所学内容，分别给出解决上述问题的方法，并说明理由。 对于第一个问题，可根据已有瓦斯浓度数据，求出其样条插值函数，由即可较为准确地求得从地面到井下500米之间任意一点处的瓦斯浓度。 但对第二个问题不宜用插值方法，因为600米已超出所给数据范围，用插值函数外推插值区间外的数据会产生较大的误差。 解决第二个问题的常用方法是，根据地面到井下500米处的数据求出瓦斯浓度与地面到井下距离之间的函数关