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第九节 定积分的物理应用 一、变力沿直线所作的功 例1. 例2. 二、水压力 三、引力 四、小结 思考与练习 * 设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x ? a 移动到 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 . 在其上所作的功元 素为 因此变力F(x) 在区间 上所作的功为 一个单 求电场力所作的功 . 解: 当单位正电荷距离原点 r 时, 由库仑定律电场力为 则功的元素为 所求功为 说明: 位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a b) , 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 求移动过程中气体压力 解: 由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从 点 a 处移动到点 b 处 (如图), 所作的功 . 建立坐标系如图. 由物理学知压强 p 与体积 V 成反比 , 即 功元素为 故作用在活塞上的 所求功为 力为 在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体, 解 建立坐标系如图 这一薄层水的重力为 功元素为 （其中水的密度 (KN) ( KJ ) 解 设木板对铁钉的阻力为 第一次锤击时所作的功为 例4 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第 次锤击时又将铁钉击入多少？ 设 次击入的总深度为 厘米 次锤击所作的总功为 依题意知，每次锤击所作的功相等． 次击入的总深度为 第 次击入的深度为 解 在端面建立坐标系如图 解 建立坐标系如图 面积微元 例7 解 如图建立坐标系, 此闸门一侧受到的水压力为 解 建立坐标系如图 将典型小段近似看成质点 小段的质量为 小段与质点的距离为 引力 水平方向的分力元素 由对称性知，引力在铅直方向分力为 利用“微元法”思想求变力作功、水压力和引力等物理问题． （注意熟悉相关的物理知识） (99考研) 提示: 作 x 轴如图. 1.为清除井底污泥, 用缆绳将抓斗放入井底, 泥后提出井口, 缆绳每 在提升过程中污泥 以20N /s 的速度从抓斗缝隙中漏掉, 现将抓起污泥的抓斗提升到井口, 抓斗抓起的污泥重2000N , 提升速度为3m /s , 问 克服重力需作多少焦耳( J ) 功? 已知井深30 m , 抓斗自重400N , 将抓起污泥的抓斗由 抓起污 x 提升 dx 所作的功可分为三部分: 米重50N ,
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