【步步高】2014-2015学年高中数学 第三章 章末总结 新人教A版选修1-1.docVIP

第三章 章末总结 知识点一　导数与曲线的切线 利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得 y0－y1＝f′(x1)(x0－x1) ① 又y1＝f(x1) ② 由①②求出x1，y1的值． 即求出了过点P(x0，y0)的切线方程． 例1　已知曲线f(x)＝x3－3x，过点A(0,16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程． 知识点二　导数与函数的单调性 利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一，其步骤为： (1)求导数f′(x)； (2)解不等式f′(x)0或f′(x)0； (3)确定并指出函数的单调增区间、减区间． 特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接． 例2　求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝＋sin x； (2)f(x)＝x(x－a)2. 知识点三　导数与函数的极值、最值 利用导数研究函数的极值和最值是导数的另一主要应用． 1．应用导数求函数极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)解方程f′(x)＝0的根； (3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号． 若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值； 若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值； 否则，此根不是f(x)的极值点． 2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤： (1)求f(x)在(a，b)内的极值； (2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值； 特别地，①当f(x)在(a，b)上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得，②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最大(小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)． 例3　设a1，函数f(x)＝x3－ax2＋b (－1≤x≤1)的最大值为1，最小值为－，求常数a，b. 知识点四　导数与参数的范围 已知函数的单调性求参数的取值范围时，可以有两种方法：一是利用函数单调性的定义，二是利用导数法．利用导数法更为简捷．在解决问题的过程中主要处理好等号的问题，因为f′(x)0(或f′(x)0)仅是一个函数在某区间上递增(或递减)的充分不必要条件，而其充要条件是：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，且f′(x)不恒为零．利用导数法解决取值范围问题时可以有两个基本思路：一是将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；另一思路是先令f′(x)0(或f′(x)0)，求出参数的取值范围后，再令参数取“＝”，看此时f(x)是否满足题意． 例4　已知函数f(x)＝x2＋ (x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围． 例5　已知f(x)＝x3－x2－2x＋5，当x∈[－1,2]时，f(x)m恒成立，求实数m的取值范围． 章末总结 答案 重点解读 例1　解　设切点为(x0，y0)， 则由导数定义得切线的斜率k＝f′(x0)＝3x－3， ∴切线方程为y＝(3x－3)x＋16， 又切点(x0，y0)在切线上， ∴y0＝3(x－1)x0＋16， 即x－3x0＝3(x－1)x0＋16， 解得x0＝－2， ∴切线方程为9x－y＋16＝0. 例2　解　(1)函数的定义域是R， f′(x)＝＋cos x，令＋cos x0， 解得2kπ－x2kπ＋ (k∈Z)， 令＋cos x0， 解得2kπ＋x2kπ＋ (k∈Z)， 因此，f(x)的单调增区间是 (k∈Z)，单调减区间是 (k∈Z)． (2)函数f(x)＝x(x－a)2＝x3－2ax2＋a2x的定义域为R， 由f′(x)＝3x2－4ax＋a2＝0，得x1＝，x2＝a. ①当a0时，x1x2. ∴函数f(x)的单调递增区间为，(a，＋∞)， 单调递减区间为. ②当a0时，x1x2， ∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，， 单调递减区间为. ③当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，∴函数f(x)的单调区间为(－∞，＋∞)，即f(x)在R上是增加的． 例3　解　令f′(x)＝3x2－3ax＝0， 得x1＝0，x2＝a. 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x －1 (－1,0) 0