【金版学案】2014-2015学年高中数学 3．1.3两角和与差的正切检测试题 苏教版必修4.docVIP

3．1.3　两角和与差的正切 你能根据正切函数与正弦、余弦函数的关系，从C(α±β)、S(α±β)出发，推导出用任意角α，β的正切表示tan(α＋β)、tan(α－β)的公式吗？ 1．若A、B为锐角三角形的两个锐角，则tan Atan B的值(　　) A．不大于1　　　　　　B．小于1 C．等于1 D．大于1 解析：∵A＋Bπ，∴由tan(A＋B)＝0，∴1－tan Atan B0即tan Atan B1. 答案：D 2．若tan α＝2，则tan＝________. 解析：∵tan α＝2，∴tan＝＝＝－3. 答案：－3 3．已知tan α＝，tan(α－β)＝－，则tan(β－2α)的值是________． 解析：tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝－tan[(α－β)＋α]＝－＝－＝－＝ －. 答案：－ 4．已知tan α＝(1＋m)，(tan αtan β＋m)＋tan β＝0，且α、β都是锐角，则α＋β＝________. 解析：tan α·tan β＝＝－m－tan β. tan(α＋β)＝＝＝， 又∵α、β为锐角， ∴α＋β＝. 答案： 5．求值：tan 18°＋tan 42°＋tan 18°tan 42°. 解析：由tan(42°＋18°)＝tan 60°＝， ∴tan 42°＋tan 18°＝tan 60°(1－tan 42°tan 18°)． 即tan 42°＋tan 18°＝－tan 18°tan 42°，代入原式，得tan 18°＋tan 42°＋tan 18°tan 42°＝. 6．若tan(α＋β)＝，则tan＝，则tan＝(　　) A. B. C. D. 解析：tan＝tan ＝＝ ＝，故选C. 答案：C 7．(tan 10°－)·＝________. 解析：(tan 10°－) ＝(tan 10°－tan 60°)＝ ＝·＝－＝－2. 答案：－2 8．已知tan α、tan β是关于x的方程x2－4px－3＝0(p∈R)的两个实数根，且α＋β≠kπ＋(k∈Z)，求cos2(α＋β)＋psin(α＋β)·cos(α＋β)的值． 解析：∵tan α、tan β是方程x2－4px－3＝0的两实根， ∴根据韦达定理得 tan α＋tan β＝4p，tan α·tan β＝－3， ∴tan(α＋β)＝＝＝p， ∴cos2(α＋β)＋psin(α＋β)·cos(α＋β) ＝ ＝＝＝1. 9．在△ABC中，已知角A，B，C成等差数列，求tan ＋ tan ＋tan tan 的值． 解析：在△ABC中，角A，B，C成等差数列， 则B＝60°，A＋C＝120°，于是 tan＋tan＋tantan ＝tan＋tantan ＝tan 60°＋tantan ＝. 10．求tan 20°tan 30°＋tan 30°tan 40°＋tan 40°tan 20°的值． 解析：原式＝tan 30°(tan 20°＋tan 40°)＋tan 40°tan 20° ＝tan (20°＋40°)(1－tan 20°tan 40°)＋tan 40°tan 20° ＝×(1－tan 20°tan 40°)＋tan 40°tan 20°＝1. 11．已知A＋B＝45°，求证：(1＋tan A)(1＋tan B)＝2(A，B≠k·180°＋90°，k∈Z)，并应用此结论求(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)(1＋tan 3°)……(1＋tan 44°)的值． 证明：∵A＋B＝45°，且A、B≠k·180°＋90°，k∈Z，∴(1＋tan A)(1＋tan B) ＝1＋tan A＋tan B＋tan Atan B ＝1＋tan(A＋B)(1－tan Atan B)＋tan Atan B＝1＋1＝2. ∴(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝2， (1＋tan 2°)(1＋tan 43°)＝2， …… (1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2. ∴(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)(1＋tan 3°)…… (1＋tan 44°)＝222. 1