【金版学案】2014-2015学年高中数学 2.4-2．4.1平面向量数量积的物理背景及其含义检测试题 新人教A版必修4.docVIP

2．4　平面向量的数量积 2．4.1　平面向量数量积的物理背景及其含义 1．下列命题正确的是(　　) A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．a·b＝b·a C．若a·b0，则a与b的夹角为钝角 D．(a·b)·c＝a·(b·c) 解析：a·b＝0?a⊥b，a与b不一定是零向量，故A错；对于C，a与b的夹角可以为π，故C错；a·b∈R，b·c∈R，a与c不一定共线，故D错，故选B. 答案：B 2．若＝4，＝3，a与b的夹角为120°，则a·b为(　　) A．6　　　　　　　　　B．－6 C．－6 D．6 答案：B　 3．如果a·b＝a·c，且a≠0，那么(　　) A．b＝c B．b＝λc C．b⊥c D．b、c在a方向上的投影相等 答案：D 4．在△ABC中，若·＝0，则△ABC为(　　) A．直角三角形 B．正三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 答案：C 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于(　　) A．－16 B．－8 C．8 D．16 解析：因为∠C＝90°，所以·＝0， 所以·＝·＝2＋·＝16，故选D. 答案：D 6．(2013·山东卷)已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________． 解析：把转化为－，再通过·＝0 求解． ∵⊥，∴·＝0. 又＝λ＋，＝－， ∴(λ＋)(－)＝0. 即(λ－1)·－λ2＋2＝0. ∴(λ－1)||||cos 120°－9λ＋4＝0. ∴(λ－1)×3×2×－9λ＋4＝0.解得λ＝. 答案： 7．已知|a|＝|b|＝5，a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|的值． 解析：∵a·b＝|a||b|cos＝5×5×＝， ∴(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝25＋2×＋25＝75， (a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝25－2×＋25＝25. ∴|a＋b|＝5，|a－b|＝5. 8．已知a，b的夹角为120°，且＝1，＝2，当向量a＋λb与λa＋b夹角为钝角时，求λ的取值范围． 解析：∵＝1，＝2，a与b的夹角为120°， ∴a·b＝cos 120°＝1×2×＝－1. ∵向量a＋λb与λa＋b的夹角为钝角， ∴·0. 又·＝λa2＋a·b＋λb2， ∴λ－(λ2＋1)＋4λ0. 解得λ或λ. ∴λ的取值范围是∪. 9．在△ABC中，若＝a，＝b，＝c且a·b＝b·c＝c·a，判断△ABC的形状． 解析：如下图所示，a·b＝cos＝ －cos C， b·c＝cos＝－cos A， c·a＝cos＝－cos B. ∵a·b＝b·c＝c·a，∴－cos C＝－cos A，cos C＝cos A，作BD⊥AC于D，则||＝acos C，||＝|c|cos A，∴||＝||. ∴D为AC的中点，∴||＝||. 同理可证||＝||. ∴△ABC为正三角形． 10．如右图所示，在?ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°.求： (1)·； (2)·； (3)·. 解析：(1)因为∥，且方向相同，所以与的夹角是0°. 所以·＝·cos 0°＝3×3×1＝9. (2)因为∥，且方向相反，所以与的夹角是180°，所以·＝||·||·cos 180°＝4×4×(－1)＝－16. (3)因为与的夹角为60°，所以与的夹角为120°，所以·＝||·||·cos 120°＝4×3×＝－6. 1