福建省漳州市芗城中学高中数学 3对称问题专题训练 新人教A版必修2.docVIP

福建省漳州市芗城中学高中数学 3对称问题专题训练 新人教A版必修2 目标：能运用直线方程的知识解决与直线有关的对称和最值问题。 一、基本对称： x轴 y轴 原点 直线y = x 直线y = - x 点(1 , 2) P (x0 , y0) 直线Ax + By + C = 0 练习：2x + 3y – 6 = 0 方程：f (x , y) = 0 函数y = f (x) 规律 图象 应用：y = x2 + 2x + 3 (x –1)2 + (y +1)2 = 4 二、点对称（中心对称）——图像旋转180°后重合 1、举出中心对称的例子： 如：正方形、正多边形、圆、奇函数的图像。 2、点与点对称： 例1：点M（4，3）关于N（5，– 3）的对称点是 。 一般结论：点P (x0 , y0) 关于点Q (a , b) 的对称点是 。 解题思路：中点坐标公式。 3、直线关于点对称： 例2：直线y = 3x - 4关于点 (1 , 1) 对称的直线方程是 。 解题思路：（1）直线上任取两点，求关于 (1 , 1) 的对称点——确定一条直线； （2）两对称直线平行，直线的方程可设为3x – y + m = 0，由点到直线的距离相等可得； （3）设P (x0 , y0)为直线y = 3x - 4上任一点，∴ y0 = 3x0 – 4 …… ①， 又P (x0 , y0)关于 (1 , 1) 的对称点为P (x , y)，得 代入 ① 即得。 注：本题用（2）较简单，但（3）为一般解法，适用于所有的函数和方程。 练习：1、方程x2 + y2 = 1关于点（1，1）对称的方程为 。 2、点A (3，– 1) 关于点B（2，1）的对称点是 。 3、直线2x – y + 1 = 0关于点 (2 , 4) 对称的直线方程是 。 直线x + y + 1 = 0关于点 (2 , 3) 对称的直线方程是 。 三、轴对称（直线）——沿直线翻折后图像重合 1、举出轴对称的例子： 如：正多边形、圆、偶函数的图像、互为反函数的图像。 2、点关于直线对称： 例3：点M (2 , 4) 关于直线l: 2x – y + 1 = 0的对称点是 。 解题思路：设N (x0 , y0)，则l为MN的垂直平分线，得 联立方程组求解。 练习：1、点M (2 , 3) 关于直线x + y + 1 = 0的对称点是 。 2、点 (4 , 0 ) 关于直线5x + 4y + 21 = 0的对称点是 。 3、点A (4 , 5) 关于直线l的对称点是B (- 2 , 7)，则l的方程是 。 3、直线关于直线对称： 例4：直线l1: x – y – 2 = 0关于直线l2: 3x – y + 3 = 0对称的直线方程为 。 解题思路：（1）夹角相等——求斜率；过交点——解方程组。 （2）l1上任取一点，求关于l2的对称点坐标，所求直线必过对称点及交点。 （3）设P (x0 , y0) 是l1上的任一点，∴ x – y – 2 = 0 …… ① P关于直线l2的对称点为Q (x , y)， 得： 把x , y看成常数，求得x0 , y0，代入 ① 即得。 注：本题用（1）较简单，但（3）为一般解法，适用于所有的函数和方程。 练习：1、求直线2x + 3y – 6 = 0关于直线x + y – 1 = 0的对称直线方程。 2、已知直线l: x + y – 2 = 0，一束光线过点P (0 ,) 以120°的倾斜角投射到l上，经l反射后，求反射线所在直线的方程。 3、有一光线从点A (2 , 13) 射到直线l: 3x – 4y – 4 = 0以后，再反射到点 B (- 3 , 3) ，求这条光线的入射线的反射线所在直线的方程以及这条光线从A到B所经过的路程。 4、光线沿着斜率为的直线l1射在斜率为的直线l2上反射，若l1和l2的交点为点 (- 1 , 2) ，求反射线所在的直线方程。 一般结论：求直线Ax + By + C = 0关于直线y = ± x + b的对称直线的方程。 设P (x0 , y0)，则Ax0 + By0 + C = 0，P关于直线y = ± x + b的对称点为Q (x , y)， 则有或。 注：在解