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【创新设计】2014-2015学年高中数学 3.3.1 几何概型检测试题 新人教A版必修3 一、基础达标 下列概率模型： 在区间[－10]中任取一个数求取到1的概率；从区间[－10]内任取一个数求取到绝对值不大于1的数的概率；③从区间[－10]内任取1且小于5的整数的概率；④向一个边长为4 的正方形ABCD内投一点P求点P离中心不超过1 的概率．其中是几何概型的个数为(　　) 答案　 解析　①是．因为区间[－10]有无限多个点取到1这个数的概率为0. 是．因为在[－10]和[－1]上有无限多个点可取且在这两个区间上每个数取到的可能性相同． 不是．因10，10]上的整数只有21个不满足无限性． 是．因为在边长为4 的正方形和半径为1 的圆内均有无数多个点且每个点被投中的可能性相同． 有四个游戏盘如图所示如果撒一粒黄豆落在阴影部分则可中奖小明希望中奖机会大他应当选择的游戏盘为(　　) 答案　 解析　对(A)＝对(B)＝；对(C)＝＜；对(D)＝显然P(A)最大因此应选游戏盘 3．已知地铁列车每10 一班在车站停1 则乘客到达站台立即乘上车的概率是(　　) B. C. D. 答案　 解析　试验的所有结果构成的区域长度为10 而构成事件A的区域长度为1 故P(A)＝ 4．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P则△PBC的面积大于的概率是(　　) B. C. D. 答案　 解析　如右图所示在边AB上任取一点P因为△ABC与△PBC是等高的所以事件“△PBC的面积大于等价于事件＞即P(△PBC的面积大于)＝＝ 5．在如图所示的正方形中随机撒入1 000粒芝麻则撒入圆内的芝麻数大约为________(结果保留整数)． 答案　785 解析　设正方形边长为2a则S正＝4a S圆＝因此芝麻落入圆内的概率为P＝＝大约有1 000×(粒)． 在400毫升自来水中有一个大肠杆菌今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察则发现大肠杆菌的概率为________． 答案　0.005 解析　由几何概型知P＝＝0.005. 平面上画了一些彼此相距2a的平行线把一枚半径r＜a的硬币任意掷在这个平面上求硬币不与任一条平行线相碰的概率． 设事件A：“硬币不与任一条平行线相碰”．为了确定硬币的位置由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM垂足为M参看图这样线段OM长度(记作|OM|)的取值范围是[0]，只有当r＜|OM|≤a时硬币不与平行线相碰其长度范围是(r]．所以(A)＝＝ 二、能力提升 ．(2013·蚌埠高一检测)如图在圆心角为直角的扇形OAB中分别以OA为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点则此点取自阴影部分的概率是(　　) －　　－ 　　 答案　 解析　设OA＝OB＝r则两个以为半径的半圆的公共部分面积为2＝两个半圆外部的阴影部分面积为－＝所以所求概率为＝1－ 9．已知一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行则此蚂蚁到三角形三个顶点的距离均超过1的概率为(　　) －－ D. 答案　 解析　设正三角形ABC的边长为4其面积为4分别以A为圆心为半径在△ABC中作扇形除去三个扇形剩下的部分即表示蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的区域其面积为4－3××12＝4－故所求概率P＝＝1－ 10．(2013·湖北高考)在区间[－2]上随机地取一个数x若x满足|x|≤m的概率为则m＝________． 答案　3 解析　由|x|≤m得－m≤x≤m.当m≤2时由题意得＝解得m＝2.5矛盾舍去．当2＜m＜4时由题意得＝解得m＝3. 已知正方体ABCD－A的棱长为1在正方体内随机取点M求使四棱锥M－ABCD的体积小于的概率． 解　如图正方体ABCD－A1C1D1，设M－ABCD的高为h 则四边形ABCD， 又S四边形ABCD＝1 则h即点M在正方体的下半部分．故所求概率P＝＝ 三、探究与创新 在街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 的正方形塑料板的宽广地面上掷一枚半径为1 的小圆板．规则如下：每掷一次交5角钱若小圆板压在边上可重掷一次；若掷在正方形内需再交5角钱才可玩；若压在正方形塑料板的顶点上可获得一元钱．试问： (1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？ (2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？ 解　(1)如图(1)所示因为O落在正方形ABCD内任何位置是等可能的小圆板与正方形塑料板ABCD的边相交接是O到与它靠近的边的距离不超过时所以O落在图中阴影部分时小圆板就能与塑料板ABCD的边相交接这个范围的面积等于9－7＝32()，因此所求的概率是＝ (2)小圆板与正方形的顶点相交接是在圆心O与正方形的顶点的距离不超过小圆板的半径1 时如图(2)阴影部分四块合起来面积为故所求概率是 13．设关于x的一元二次方程x＋2ax＋b＝0. (1