【金版教程】2014-2015学年高中数学 第二章 平面向量第29课时平面向量数量积的坐标表示、模、夹角检测试题 新人教A版必修4.DOCVIP

【金版教程】2014-2015学年高中数学 第二章 平面向量第29课时平面向量数量积的坐标表示、模、夹角检测试题 新人教A版必修4 一、选择题 1．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝(　　) A．6　　 B．5 C．4 D．3 解析：∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)． 又∵(8a－b)·c＝30，∴(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30.∴x＝4. 答案：C　 2．[2013·江西南昌月考]已知a＝(2,1)，b＝(－1,3)，若存在向量c，使a·c＝4，b·c＝9，则向量c＝(　　) A．(，) B．(－，) C．(，) D．(，－) 解析：设c＝(x，y)，则有解得选C. 答案：C　 3．[2013·雷州联考]已知a＝(－3,4)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a垂直，则实数λ的值为(　　) A．－ B． C.　 D． 解析：(λa＋b)·a＝λa2＋b·a＝25λ＋3＝0，得λ＝－，选A. 答案：A　 4．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法错误的是(　　) A．若a与b共线，则a⊙b＝0 B．a⊙b＝b⊙a C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b) D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2 解析：若a＝(m，n)与b＝(p，q)共线，则mq－np＝0，依运算“⊙”知a⊙b＝0，故A正确．由于a⊙b＝mq－np，又b⊙a＝np－mq，因此a⊙b＝－(b⊙a)，故B不正确．对于C，由于λa＝(λm，λn)，因此(λa)⊙b＝λmq－λnp，又λ(a⊙b)＝λ(mq－np)＝λmq－λnp，故C正确．对于D，(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2－2mnpq＋n2p2＋(mp＋nq)2＝m2(p2＋q2)＋n2(p2＋q2)＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，故D正确． 答案：B　 二、填空题 5．若a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，则(a·b)·c＝(－16，－8)，a·(b·c)＝(－8，－12)． 解析：(a·b)·c＝[(2,3)·(－1，－2)]·(2,1) ＝[2×(－1)＋3×(－2)]·(2,1) ＝(－16，－8)， a·(b·c)＝(2,3)·[(－1，－2)·(2,1)] ＝(2,3)·(－4)＝(－8，－12)． 6．设i，j分别为x轴、y轴正方向上的单位向量，a＋b＝2i－8j，a－b＝－8i＋16j，则a·b＝－63. 解析：∵ ∴a＝－3i＋4j＝(－3,4)，b＝5i－12j＝(5，－12)． ∴a·b＝－3×5＋4×(－12)＝－63. 7．已知△ABC是等边三角形，A(1,2)，B(3，－4)，则顶点C的坐标是(2＋3，－1＋)或(2－3，－1－)． 解析：设C(x，y)，则||＝||＝||. 即(x－1)2＋(y－2)2＝22＋62＝40　　　　 ① (x－3)2＋(y＋4)2＝40　　　　　 ② ①－②得x－3y＝5，代入①得 y2＋2y－2＝0， 解得y＝－1±， 代入x－3y＝5得 或. 三、解答题 8．已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c. (1)求b和c； (2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m、n的夹角的大小． 解：(1)∵a∥b，∴3x－4×9＝0，∴x＝12.∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0，∴y＝－3，∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)． (2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)， n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)， 设m、n的夹角为θ，则cosθ＝＝＝＝－. ∵θ∈[0，π]，∴θ＝，即m、n的夹角为. 9．设向量a，b满足|a|＝1，|b|＝1，且a与b具有关系|ka＋b|＝|a－kb|(k0)． (1)a与b能垂直吗？ (2)若a与b夹角为60°，求k的值． 解：(1)∵|ka＋b|＝|a－kb|， ∴(ka＋b)2＝3(a－kb)2， 且|a|＝|b|＝1. 且k2＋1＋2ka·b＝3(1＋k2－2ka·b)， ∴a·b＝.∵k2＋1≠0， ∴a·b≠0，即a与b不垂直． (2)∵a与b夹角为60°，且|a|＝|b|＝1， ∴a·b＝|a||b|cos60°＝. ∴＝.∴k＝1. 3