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1.3 三角函数的图象和性质
1．3.1 三角函数的周期性
情景：自然界中存在着许多周而复始的现象，如地球的自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动，圆周运动等．从正弦函数、余弦函数的定义可知，角α的终边每转一周又会与原来的位置重合，故sin α，cos α的值也具有周而复始的变化规律．
思考：正弦函数、余弦函数及正切函数它们都是周期函数吗？其周期分别为多少？你能给周期函数下一个定义吗？
1．函数y＝sin的最小正周期是________．
答案：4π
2．已知函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，则f(2 014)＝________.
答案：1
3．函数y＝4tan的最小正周期是________．
答案：
4．y＝cos(πx＋1)的最小正周期为________．
答案：2
5．直线y＝a(a为常数)与正切曲线y＝tan ωx(ω为常数，且ω＞0)相交的相邻两点间的距离是________．
答案：
6．设函数f(x)是周期为2T的函数，若f(x)定义域为R，且其图象关于直线x＝T对称，那么f(x)是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
解析：∵f(x)的图象关于x＝T对称，
∴f(T－x)＝f(T＋x)． ①
又f(x)的周期为2T，
∴f(T＋x)＝f(T＋x－2T)＝f(x－T)． ②
由①、②有f(T－x)＝f(x－T)．
令x－T＝t，则f(－t)＝f(t)对一切t∈R都成立，
∴f(x)是偶函数．
答案：B
7．为使函数y＝sin ωx(ω＞0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是________．
解析：要使y＝sin ωx在区间[0,1]上至少出现50次最大值，此区间至少含有49个周期．
49T≤1，又T＝，∴49×≤1，∴ω≥π.
答案：
8．若函数f(x)＝2tan的最小正周期T满足1＜T＜2，则自然数k的值为________．
解析：T＝，1＜＜2，＜k＜π，而k∈N?k＝2或3.
答案：2或3
9．若函数f(x)的定义域为R，对一切实数x，都有f(5＋x)＝f(5－x)，f(7＋x)＝f(7－x)，试判断f(x)是否是周期函数，若是，求出它的一个周期，若不是，请说明理由．
解析：∵f(5＋x)＝f(5－x)，f(7＋x)＝f(7－x)，
∴f(10－x)＝f(x)，
f(14－x)＝f(x)，
∴f(14－x)＝f(10－x)，
令t＝10－x，则f(4＋t)＝f(t)，所以f(x)是周期函数，4是它的一个周期．
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