【金版学案】2014-2015学年高中数学 2．4向量的数量积检测试题 苏教版必修4.docVIP

2．4　向量的数量积 前面我们学习过向量的加减法，实数与向量的乘法，知道a＋b，a－b，λa(λ∈R)仍是向量，大家自然要问：两个向量是否可以相乘？相乘后的结果是什么？是向量还是数？ 1．i，j是互相垂直的单位向量，a是任一向量，则下列各式不成立的是(　　) A．a·a＝|a|2 B．i·i＝1 C．i·j＝0 D．a·j＝a 答案：D 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于(　　) A．－16 B．－8 C．8 D．16 解析：∵∠C＝90°，∴·＝0，∴·＝·＝2＋·＝16，故选D. 答案：D 3．已知|e1|＝|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，则(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝(　　) A．－1 B．1 C．－ D．－ 解析：∵|e1|＝|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°， ∴(2e1－e2)·(－3e1＋2e2) ＝－6e＋7e1·e2－2e ＝－6＋－2＝－，故选C. 答案：C 4．若a∥b，a⊥c，则c·(a＋2b)＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．0 解析：∵a∥b，a⊥c， ∴c·(a＋2b)＝c·a＋c·2b ＝0＋0＝0，故选D. 答案：D 5．若O点为△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状为________． 答案：等腰三角形 6．已知A(－1,1)，B(1,2)，C，则·等于________． 答案： 7．设单位向量mbm⊥b7.已知a＋b＝2i－8j，a－b＝－8i＋16j(i，j为互相垂直的单位向量)，那么a·b等于________． 答案： 8．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝，则b等于________． 答案： 9．已知△ABC中，＝a，＝b，a·b0，S△ABC＝，|a|＝3，|b|＝5，则a与b的夹角是________． 答案：150° 10．定义|a×b|＝|a|·|b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，求|a×b|. 解析：∵a·b＝|a||b|cos θ＝2×5×cos θ＝－6，∴cos θ＝－，又∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝. ∴|a×b|＝|a||b|sin θ＝2×5×＝8. 11．已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是________． 解析：由于(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，所以 整理得 又∵cosa，b＝＝＝， ∴a与b成的夹角为. 答案： 12．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是________． 解析：方程有实根，∴Δ＝|a|2－4a·b≥0，|a|2－4|a|·|b|cos〈a，b〉≥0， ∴cos〈a，b〉≤，∴〈a，b〉∈. 答案： 13．已知a·b＝0，|a|＝2，|b|＝3，且(3a＋2b)⊥(ka－b)，则实数k的值为________． 解析：由(3a＋2b)·(ka－b)＝3k|a|2－3a·b＋2ka·b－2|b|2＝0得12k－18＝0，所以k＝. 答案： 14．已知|a|＝，|b|＝，a与b的夹角为45°，要使λb－a与a垂直，则λ＝________. 解析：(λb－a)·a＝0，λ(a·b)－|a|2＝0， λ＝＝. 答案： 15．已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝________. 解析：∵|a|＝13，|b|＝19，∴|a＋b|2＝(a＋b)2＝a＋2a·b＋b2＝242，∴2a·b＝242－132－192＝46，∴|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝484，∴|a－b|＝22. 答案：22 16．已知|a|＝3，|b|＝5，|c|＝7，且a＋b＋c＝0，则a，b的夹角θ＝________. 解析：∵|a|＝3，|b|＝5，|c|＝7，且a＋b＋c＝0， ∴a＋b＝－c， ∴a2＋2a·b＋b2＝c2. ∴9＋2×3×5×cos θ＋25＝49， ∴cos θ＝，∴θ＝60°. 答案：60° 17．已知向量a，b，c两两所成的角相等且均为120°.且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝1，求向量a＋b＋c的长度． 解析：由已知向量a，b，c两两所成的角相等，均为120°，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝1. ∴a·b＝|a||b|cos 120°＝－3， b·c＝|b||c|cos 120°＝－， a·c＝|a||c|cos 120°＝－1. ∴|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)2 ＝|a|2＋|b|2＋