【成才之路】2014-2015学年高中数学 第2章 §3 3.1双曲线及其标准方程课件 北师大版选修1-1.ppt

1．了解双曲线的定义，会推导双曲线的标准方程． 2．会用待定系数法求双曲线的标准方程. 重点：双曲线的定义及其标准方程． 难点：双曲线标准方程的推导. 新知导学 1．类比椭圆的定义我们可以给出双曲线的定义 在平面内到两个定点F1、F2距离之_____的绝对值等于定值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的__________，两焦点之间的距离叫做双曲线的_______． 2．定义中为何强调“绝对值”和“02a|F1F2|”． (1)在双曲线的定义中，条件02a|F1F2|不应忽视，若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是____________；若2a|F1F2|，则动点的轨迹是__________． (2)双曲线定义中应注意关键词“__________”，若去掉定义中“_________”三个字，动点轨迹只能是_____________． 思维导航 类比椭圆方程的建立过程，你该怎样建立双曲线的方程呢？ 在椭圆标准方程推导过程中，是令b2＝a2－c2，而在双曲线标准方程的推导过程中，是令b2＝c2－a2.这样做有什么好处？ 新知导学 3．焦点在x轴上的双曲线的标准方程为 _________________________，焦点在y轴上的双曲线的标准方 程为______________________． 4．在双曲线的标准方程中a、b、c的关系为__________________. 5．对比是学习数学中常用的有效的学习方法，应用对比的学习方法常能起到巩固旧知识，深化对新知识的理解的作用，也能有效的避免知识的混淆．在学习双曲线知识时，要时时留意与椭圆进行对比． 椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系. 6.在椭圆的标准方程中，判断焦点在哪个轴上是看x2、y2项________的大小，而在双曲线标准方程中，判断焦点在哪个轴上，是看x2、y2 ________的符号． 牛刀小试 1．已知两定点F1(－3,0)、F2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是(　　) A．||PF1|－|PF2||＝5　 B．||PF1|－|PF2||＝6 C．||PF1|－|PF2||＝7 D．||PF1|－|PF2||＝0 [解析]　A中，∵|F1F2|＝6，∴||PF1|－|PF2||＝5|F1F2|，故运点P的轨迹是双曲线； B中，∵||PF1|－|PF2||＝6＝|F1F2|，∴动点P的轨迹是以F1或F2为端点的射线(含端点)； C中，∵||PF1|－|PF2||＝7|F1F2|，∴动点P的轨迹不存在； D中，∵||PF1|－|PF2||＝0，即|PF1|＝|PF2|，根据线段垂直平分线的性质，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线，故选A. [答案]　A [点评]　注意双曲线定义中的“小于|F1F2|”这一限制条件，其依据是“三角形两边之差小于第三边”．实际上， (1)若2a＝|F1F1|，即||PF1|－|PF2||＝|F1F2|，根据平面几何知识，当|PF1|－|PF2|＝|F1F2|时，动点轨迹是以F2为端点的一条射线；当|PF2|－|PF1|＝|F1F2|时，动点轨迹是以F1为端点的一条射线； (2)若2a|F1F2|，即||PF1|－|PF2|||F1F2|，则与“三角形两边之差小于第三边”相矛盾，故动点轨迹不存在； (3)特别地当2a＝0时，|PF1|＝|PF2|，根据线段垂直平分线的性质，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线． 3．在方程mx2－my2＝n中，若mn0，则方程的曲线是(　　) A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线 [答案]　D [答案]　B [解析]　由条件知c＝6，焦点在y轴上，排除A、D；又双曲线经过点A(－5,6)，排除C. [答案]　(1)以(－5,0)，(5,0)为焦点的双曲线； (2)以(－4,0)，(4,0)为焦点的双曲线的右支． [分析]　可先设出双曲线的标准方程，再构造关于a、b的方程组，求得a、b，从而求得双曲线的标准方程．注意对平方关系c2＝a2＋b2的运用． 2．在求过两定点的椭圆方程时，我们曾经将椭圆方程设为mx2＋my2＝1(m0，n0)以简化运算，同理求经过两定点的双曲线方程也可设为mx2＋ny2＝1，但这里应有m·n0. [方法规律总结]　在椭圆的研究中我们已经体验了定义在解决有关曲线上的点到焦点距离问题中的作用，同样在双曲线中也应注意定义的应用． 已知双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题，往往利用正弦定理、余弦定理以及双曲线的定义列出关系式． [方法规律总结]　双曲线的焦点三角形是常见的命题着眼点，在焦点三角形中，正弦定理