【成才之路】2014-2015学年高中数学 第三章 推理与证明章末归纳总结课件 北师大版选修1-2.ppt

1.归纳推理和类比推理都是合情推理，归纳推理是由特殊到一般，由部分到整体的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理．二者都能由已知推测未知，都能用于猜测，得出新规律，但推理的结论其正确性有待于去证明． 2．演绎推理与合情推理不同，演绎推理是由一般到特殊的推理，是数学证明中的基本推理形式，只要前提正确，推理形式正确，得到的结论就正确． 3．合情推理与演绎推理既有联系，又有区别，它们相辅相成，前者为人们探索未知提出猜想提供科学的方法，后者为人们证明猜想的正确性提供科学的推理依据． 4．综合法、分析法、反证法都是数学证明的基本方法．综合法常用于由已知出发进行推理较易找到思路的问题；分析法常用于条件复杂，思考方向不明确的问题，但单纯用分析法证明的情形较少，通常是“分析找思路，综合写过程”；分析法的证明过程充分体现了转化的思想，而反证法则是正难则反思想的体现．另外用反证法证题时，原命题的反面不止一种情形时，要注意分类讨论． 1.进行类比推理时，可以从①问题的外在结构特征，②图形的性质或维数．③处理一类问题的方法．④事物的相似性质等入手进行类比．要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误． 2．进行归纳推理时，要把作为归纳基础的条件变形为有规律的统一的形式，以便于作出归纳猜想． 3．推理证明过程叙述要完整、严谨、逻辑关系清晰、不跳步． 4．注意区分演绎推理和合情推理，当前提为真时，前者结论一定为真，后者结论可能为真！ 合情推理得到的结论其正确性需要进一步推证，合情推理中运用猜想时要有依据． 5．用反证法证明数学命题时，必须把反设作为推理依据．书写证明过程时，一定要注意不能把“假设”误写为“设”，还要注意一些常见用语的否定形式． 6．分析法的过程仅需要寻求某结论成立的充分条件即可，而不是充要条件． 分析法是逆推证明，故在利用分析法证明问题时应注意逻辑性与规范性．一般地，用分析法书写解题步骤的基本格式是： 要证：……，只需证……，只需证……， ……，……显然成立，所以……成立． [答案]　C [解析]　上述推理过程中，第一步、第三步是错误的，忽视了不等式性质成立的条件． [答案]　A [解析]　该题通过观察前几个特殊式子的特点，通过归纳推理得出一般规律，写出结果即可． 4．如图，已知命题：若矩形ABCD的对角线BD与边AB和BC所成的角分别为α，β，则cos2α＋cos2β＝1，则在长方体ABCD－A1B1C1D1中，可写出类似的命题：___________ ____________________________________________ [答案]　长方体ABCD－A1B1C1D1中，若对角线BD1与棱AB、BB1、BC所成的角分别为α、β、γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1或sin2α＋sin2β＋sin2γ＝2 (或：长方体ABCD－A1B1C1D1中，若对角线BD1与平面ABCD、ABB1A1、BCC1B1所成的角分别为α、β、γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2或sin2α＋sin2β＋sin2γ＝1)． 5．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集．给出平面上4个点集的图形如下(阴影区域及其边界)： 其中为凸集的是________(写出所有凸集相应图形的序号)． [答案]　②③ [解析]　本题主要考查从题目中提取信息，解决问题的能力． 举反例 [解析]　f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47， f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61， f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83， f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113， f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151. 由于43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都为质数．于是猜想当n取任何非负整数时f(n)＝n2＋n＋41的值为质数． 因为当n＝40时，f(40)＝402＋40＋41＝41×41，所以f(40)为合数，因此，上面由归纳推理得到的猜想不正确． [答案]　a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c) [证明]　若ac＋bd≤0，则不等式显然成立．若ac＋bd0，要证原不等式成立，只要证(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)，即要证a2c2＋2abcd＋b2d2≤a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2，只要证(ad－bc)2≥0.此式显然成立，所以原不等式成立． [证明]　因为b2＋c2≥2bc，a0， 所以a(b2＋c2)≥2abc. 又因为c2＋a2≥2ac，b0， 所以b(c2＋a2)≥2a