【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.4反证法课件 北师大版选修1-2.ppt

1．了解反证法是间接证明的一种基本方法；了解反证法的思考过程、特点． 2．感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用． 重点：反证法概念的理解以及反证法的解题步骤． 难点：应用反证法解决问题． 思维导航 我们在立体几何证题中曾经使用过反证法，那么反证法的定义，反证法的原理，用反证法证题的注意事项是怎样的呢？ 新知导学 1．反证法的定义 一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出______，因此说明假设______，从而证明了原命题______，这样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证明的一种基本方法． 2．反证法常见的矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与_________矛盾，或与_____矛盾，或与______________ _______、事实矛盾等． 3．反证法的适用对象 作为一种间接证明方法，反证法尤其适合证明以下几类数学问题： (1)直接证明需分多种情况的； (2)结论本身是以否定形式出现的一类命题——否定性命题； (3)关于唯一性、存在性的命题； (4)______以“至多”、“至少”等形式出现的命题； (5)条件与结论联系不够明显，直接由条件推结论的线索不够清晰，_______的反面是比原结论更具体、更容易研究的命题． 牛刀小试 1．(2014·山东理，4)用反证法证明命题“设a、b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　) A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根 [答案]　A [解析]　至少有一个实根的否定为：没有实根． [答案]　C 3．(2013·华池一中高二期中)用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a、b、c中恰有一个偶数”正确的反设为(　　) A．a、b、c都是奇数 B．a、b、c都是偶数 C．a、b、c中至少有两个偶数 D．a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数 [答案]　D [解析]　“自然数a、b、c中恰有一个偶数”即a、b、c中有两奇一偶，故其反面应为都是奇数或两偶一奇或都是偶数，故选D. 4.如图所示，在△ABC中，ABAC，AD为BC边上的高，AM是BC边上的中线，求证：点M不在线段CD上． [解析]　假设点M在线段CD上，则BDBM＝CMCD，且AB2＝BD2＋AD2，AC2＝AD2＋CD2，所以AB2＝BD2＋AD2BM2＋AD2CD2＋AD2＝AC2，即AB2AC2，所以ABAC.这与ABAC矛盾，故假设错误．所以点M不在线段CD上． [分析]　直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反证法，注意该命题的反面情形不止一种，需一一驳倒，才能推出命题结论正确． [解析]　不妨设直线a与平面α相交，b与a平行，从而要证b也与平面α相交．假设b不与平面α相交，则必有下面两种情况：(1)b在平面α内．由a∥b，a?平面α，得a∥平面α，与题设矛盾． (2)b∥平面α. 则平面α内有直线b′，使b∥b′. 而a∥b，故a∥b′，因为a?平面α，所以a∥平面α，这也与题设矛盾． 综上所述，b与平面α只能相交． [方法规律总结]　用反证法证明数学命题的步骤 第一步：审题，分清命题的条件和结论； 第二步：反设，做出与命题结论相矛盾的假设； 第三步：归谬，由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果； 第四步：下结论，断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真． 平面上有四个点，没有三点共线．证明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形． [证明]　假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，记这四个点为A、B、C、D.考虑△ABC，则有点D在△ABC之内或之外两种情况． (1)如果点D在△ABC之内(图1)，根据假设以D为顶点的三个角都是锐角，其和小于270°，这与一个圆周角等于360°矛盾． (2)如果点D在△ABC之外(图2)，根据假设∠BAD、∠B、∠BCD、∠D都小于90°，这和四边形内角之和等于360°矛盾． 综上所述，原结论成立． [分析]　本题中，含有“至少存在一个”，可考虑使用反证法． [方法规律总结]　1.当命题中出现“至少……”、“至多……”、“不都……”、“都不……”、“没有……”、“唯一”等指示性词语时，宜用反证法． 2．用反证法证题，必须准确写出命题的否定，把命题所包含的所有可能情形找全，范围既不缩小，也不扩大．常用反设词如下： [分析]　本题中“有且只有”含有两层含义：一层为“有”即存在；另一层为“只有”即唯一性，证明唯一性常用反证法． [解析]　显然x＝log23是方程的一根，假设方程2x＝3有两个根b1、b2(b1