【成才之路】2014-2015学年高中数学 第4章 §2 2.2 第1课时函数的最大值与最小值课件 北师大版选修1-1.ppt

1．理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系． 2．会用导数求某定义域上函数的最值. 重点：1.最值概念的理解． 2．求函数的最值． 难点：最值与极值的区别与联系. 新知导学 1．下图中的函数f(x)的最大值为_____，最小值为____． 而极大值为____________，极小值为__________． 2．由上图还可以看出，假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，该函数在[a，b]上一定能够取得__________与________，若该函数在(a，b)内是_________，该函数的最值必在极值点或区间端点取得． 牛刀小试 1．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1，1]上的最大值是(　　) A．－2　　　　　　　 B．0 C．2 D．4 [答案]　C [解析]　对函数求导f ′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，则f(x)在区间[－1,0]上递增，在[0,1]上递减，因此最大值是f(0)＝2，故选C. 2．函数f(x)＝x3－x2－x＋a在区间[0,2]上的最大值是3，则a等于(　　) A．3　　　 B．1 C．2 D.－1 [答案]　B 3．已知函数f(x)＝x4＋9x＋5，则f(x)的图像在(－1，3)内与x轴的交点的个数为________． [答案]　1 [解析]　因为f ′(x)＝4x3＋9，当x∈(－1,3)时，f ′(x)0，所以f(x)在(－1,3)上单调递增．又f(－1)＝－30，f(0)＝50，所以f(x)在(－1,3)内与x轴只有一个交点． [方法规律总结]　1.求可导函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值步骤如下： (1)求f(x)在开区间(a，b)内所有极值点； (2)计算函数f(x)在极值点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 2．若连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值． [分析]　先由f ′(x)＝0求出极值点，再求出极值点与区间端点的函数值，通过比较可找出最大值点与最小值点，利用最小值求出a的值后即可确定最大值． [解析]　f ′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)， 令f ′(x)＝0，得x＝0或x＝2. 又f(0)＝a，f(2)＝a－8，f(－2)＝a－40. f(0)f(2)f(－2)， ∴当x＝－2时，f(x)min＝a－40＝－37，得a＝3. ∴当x＝0时，f(x)max＝3. [方法规律总结]　已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决． 若f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]上的最大值是3，最小值是－29，求a、b的值． [答案]　a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29 [解析]　f ′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)． 令f ′(x)＝0，得x＝0，x＝4. ∵x∈[－1,2]，∴x＝0. 由题意知a≠0. [方法规律总结]　1.证明不等式，研究方程根的个数、两函数图像的交点个数、图像的分布范围等问题，导数和数形结合法是一种很有效的方法，经常通过分析函数的变化情况，结合图形分析求解．， 2．恒成立问题向最值转化也是一种常见题型． 设函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)c2成立，求c的取值范围． [答案]　(－∞，－1)∪(9，＋∞) [解析]　∵f ′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)． ∴当x∈(0,1)时，f ′(x)0；当x∈(1,2)时，f ′(x)＜0； 当x∈(2,3)时，f ′(x)0. ∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c. 又f(3)＝9＋8cf(1)， ∴x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c. ∵对任意的x∈[0,3]，有f(x)c2恒成立， ∴9＋8cc2，即c－1或c9. ∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞). [解题思路探究]　第一步，审题．审结论，确定解题目标，求a、b的值需建立a、b的方程组求解；求f(x)在[－3，3]上的最值，需按照“用导数求函数最值”的一般步骤进行； 审条件，挖掘解题信息，“f(x)在x＝2处取得极值c－16”，应从以下三方面把握： (一)f(2)＝c－16，(二)f ′(2)＝0，(三)c－16可能是极大值，也可能是极小值，需依据解题过程和条件判断． 第二步，建联系，确定解题步骤． 先求f ′(x)，利用极值条件建立a、b的方程组，解方程组求a、b；从而得到f(x)解析式；再解不等式f ′(x)0(或f ′(x)0)确定f(x)的