【成才之路】2014-2015学年高中数学 第2章 §2 2.2抛物线的简单性质同步测试 北师大版选修1-1.docVIP

【成才之路】2014-2015学年高中数学 第2章 §2 2.2抛物线的简单性质同步测试 北师大版选修1-1 一、选择题 1．顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，过点(－2,3)的抛物线方程是(　　) A．y2＝x B．x2＝y C．y2＝－x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝y [答案]　D [解析]　点(－2,3)在第二象限， 设抛物线方程为y2＝－2px(p0)或x2＝2p′y(p′0)， 又点(－2,3)在抛物线上， 9＝4p，p＝，4＝6p′，p′＝. 2．(2014·山师大附中高二期中)抛物线y2＝－2px(p0)的焦点恰好与椭圆＋＝1的一个焦点重合，则p＝(　　) A．1　　　 B．2 C．4 D.8 [答案]　C [解析]　椭圆中a2＝9，b2＝5，c2＝a2－b2＝4，c＝2，F1(－2,0)，F2(2,0)，抛物线y2＝－2px(p0)的焦点F(－，0)与F1重合，－＝－2，p＝4，故选C. 3．动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点(　　) A．(4,0) B．(2,0) C．(0,2) D．(0，－2) [答案]　B [解析]　圆心到直线x＋2＝0的距离等于到抛物线焦点的距离，定点为(2,0)． 4．抛物线y2＝4x上点P(a,2)到焦点F的距离为(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 [答案]　B [解析]　点P(a,2)在抛物线上， 4a＝4，a＝1，点P(1,2)． 又抛物线的焦点F坐标为(1,0)， |PF|＝＝2. 5．P为抛物线y2＝2px的焦点弦AB的中点，A、B、P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|、|BB1|、|PP1|，则有(　　) A．|PP1|＝|AA1|＋|BB1| B．|PP1|＝|AB| C．|PP1||AB| D．|PP1||AB| [答案]　B [解析]　如图， 由题意可知|PP1| ＝， 根据抛物线的定义，得 |AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BC|， |PP1|＝＝|AB|. 6．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若点A、B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，则A1FB1为(　　) A．45° B．60° C．90° D．120° [答案]　C [解析]　设抛物线方为y2＝2px(p0)． 如图，|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|， AA1F＝FA1A，BFB1＝FB1B. 又AA1Ox∥B1B， A1FO＝AF1A，B1FO＝FB1B， A1FB1＝AFB＝90°. 二、填空题 7．(2014·长春市调研)已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，设|FA||FB|，则＝________. [答案]　3＋2 [解析]　抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，过F斜率为1的直线方程为y＝x－1， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得x2－6x＋1＝0，求得x1＝3＋2，x2＝3－2， 故由抛物线的定义可得＝＝3＋2. 8．沿直线y＝－2发出的光线经抛物线y2＝ax反射后，与x轴相交于点A(2,0)，则抛物线的准线方程为________． [答案]　x＝－2 [解析]　由抛物线的几何性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行，及直线y＝－2平行于抛物线的轴知A(2,0)为焦点，故准线方程为x＝－2. 9．一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝ax上，另一个顶点在坐标原点，如果这个三角形的面积为36，则a＝________. [答案]　±2 [解析]　设正三角形边长为x. 由题意得，36＝x2sin60°，x＝12. 当a0时，将(6，6)代入y2＝ax，得a＝2. 当a0时，将(－6，6)代入y2＝ax，得a＝－2，故a＝±2. 三、解答题 10．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点． (1)求证：OAOB； (2)当OAB的面积等于时，求k的值． [答案]　(1)略　(2)± [解析]　(1)如图所示，由方程组，消去x得，ky2＋y－k＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得y1·y2＝－1，y1＋y2＝－. A，B在抛物线y2＝－x上， y＝－x1，y＝－x2，y·y＝x1x2. kOA·kOB＝·＝＝＝－1， OA⊥OB. (2)设直线与x轴交于N，显然k≠0. 令y＝0，则x＝－1，即N(－1,0)． S△OAB＝SOAN＋SOBN ＝|ON||y1|＋|ON||y2| ＝|ON|·|y1－y2|， S△OAB＝·1· ＝. S△OAB＝， ＝， 解得k＝±. 一、选择题 11．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为(　　) A.　　 B．－ C．8 D.－8 [答案]　B [解析]　y＝ax2x2＝