【金版学案】2014-2015学年高中数学 1.3-1．3.1 空间几何体的表面积同步检测试题 苏教版必修2.docVIP

1.3　空间几何体的表面积和体积1．3.1　空间几何体的表面积 知识点一　棱柱、棱锥、棱台的表面积 1．长方体的高为2，底面积等于12，过不相邻两侧棱的截面(对角面)的面积为10，则此长方体的侧面积为________． 解析：设长方体的长与宽分别为a、b，则a·b＝12且 · 2＝10，解得a＝4、b＝3，故长方体的侧面积为2×(4＋3)×2＝28. 答案：282．棱长都是1的三棱锥的表面积为________． 解析：棱长都相等的三棱锥四个面均为等边三角形，也叫正四面体，故三棱锥的表面积为一个等边三角形面积的4倍，又边长为1的等边三角形面积为，即三棱锥的表面积为. 答案：3．已知正三棱台(上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心)的上、下底面边长分别为2 cm与4 cm，侧棱长是 cm，则该三棱台的表面积为________． 解析：三棱台的表面积即上下两个正三角形的面积与三个侧面的面积和，其中三个侧面均为等腰梯形，易求出斜高为 cm. 答案：(5＋9) cm24．如图所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体，若在它的各个面的中心位置上打一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的孔，求打孔后的几何体的表面积是多少(π取3.14)? 解析：正方体的表面积为42×6＝96(cm2)，一个圆柱的侧面积为2π×1×1＝6.28(cm2)，则打孔后几何体的表面积为：96＋6.28×6＝133.68(cm2)． 知识点二　圆柱、圆锥、圆台的表面积 5．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积之比为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 解析：设圆柱的底面半径为r，则母线长为2πr，所以：＝＝1＋＝1＋＝. 答案：A6．将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积为________． 解析：由圆心角为120°知扇形面积是其所在圆面积的三分之一，故有，πR2＝3π，所以R2＝9，∴l＝3×π＝2π， ∴r＝1，∴S圆锥表＝3π＋πr2＝4π. 答案：4π7．圆台的高是12，母线长为13，两底面半径之比为8：3，求圆台的全面积． 解析：如右图所示，设两底面半径分别为8r和3r，又圆台的高是12，母线长为13，可列式：(8r－3r)2＋122＝132，解得r＝1，故两底面半径分别为8和3，代入表面积公式：S圆台表＝π(R2＋r2＋Rl＋rl)＝216π. 8．已知一个圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱的底面半径也相等，求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比． 解析：如图所示，设圆柱和圆锥的底面半径分别是r、R，则有 ＝，即＝. 所以R＝2r，l＝R.所以 ＝＝＝＝＝－1. 故圆柱的表面积和圆锥的表面积之比为(－1)∶1. 综合点一　几何体表面积公式的综合应用 9．如下图(1)所示，已知正方体面对角线长为a，沿阴影面将它切割成两块，拼成如下图(2)所示的几何体，那么此几何体的全面积为________． 解析：正方体的边长为a，新几何体的全面积为S全＝2×2＋2×a×a＋2×a×＝(2＋)a2. 答案：(2＋)a210．正四棱台的上、下两底面边长分别是方程x2－9x＋18＝0的两根，其侧面积等于两底面积之和，则其正四棱台的高为________． 解析：设其斜高为h′，高为h，则在如右图所示图形中作A1E⊥面AC，B1F⊥面AC，A1G⊥AB于G，连接EG，∴A1G＝h′，A1E＝h. ∵由题意得上、下两底面边长分别为3,6， ∴4×(3＋6)×h′＝32＋62.∴h′＝. 在Rt△A1EG中，GE＝＝， ∴h＝A1E＝＝2. 答案：2综合点二　几何体侧面展开图的应用 11．一圆柱形铁管的高是底面半径的5倍，其全面积为12π cm2.用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，若铁丝的长度为25 cm，试问你能否完成上述任务？ ．解析：圆柱的侧面展开图如下图所示．设圆柱形铁管的底面半径为r cm，高是h cm.由其全面积为12π cm2.可得2πr2＋2πrh＝12π，又h＝5r，解得r＝1，h＝5，AC＝≈25.6 (cm)． ∴铁丝的最短长度应为25.6 cm，故不能完成任务． 5