2015考研数学考试点归类.doc

一、计算曲面面积的系统解题方法 如果曲面由显示函数 给出 如果曲面有参数函数 给出 考研数学2013高分必看：各种题型经典归类总结(考试点) 特别地： ●对于球面坐标系 若所求曲面由极坐标方程决定，则引入球体坐标系 3．对于柱面上的曲面面积一般不使用公式而使用第一类曲线积分。 设为柱面上介于曲线弧和之间的曲面片，且 又设柱面在平面的准线的方程可写成如下参数式 二、曲面面积的题型与解法 【例1】求包括在圆柱面之内的曲面的侧面面积。 解：对于曲面， 圆柱面 【例2】柱面被锥面割下部分的曲面面积。 解： 由于对称性，本题所求锥面所围的柱面面积为第一象限的4倍， 对于右半平面，柱面方程为 ，故有（在平面投影，不能在平面投影） 所以所求的曲面面积为 另外，还可以求出柱面围的锥面面积如下： 由于对称性，所求锥面面积为上半平面的2倍， 对于上半平面，锥面方程为 ，故有（在平面投影） 所以所求的曲面面积为 【例3】求曲面被平面切除的那部分的面积。 解：对于准线平行于平面的柱面，不能在平面上投影，因为投影面积为零，故需要转化到其他坐标平面上如的投影。 【例4】求螺旋面的侧面面积。 解：因为 【例5】计算空间曲线所包围的面积。 解： 引入球体坐标系 【例6】求柱面被球面割下部分的曲面面积。 解：按照第一类曲线积分解法如下 【例7】 求以极坐标曲线为准线，母线平行于轴的柱面被平面 及截下的有限部分的面积。 解：对于本题，就可以按照第一类曲线积分解法如下 考研数学中向量组相关性的8大必须掌握的系统定理及其证明 智 轩 定 理 1 一般称为的部分组，如果一个向量组线性无关，则其部分组必无关；如果部分组相关，则向量组必相关。但如果向量组相关，则部分组可能相关也可能无关，同理，部分组无关，则向量组可能无关也可能相关。 证明： 记 形象记忆法：大无小无，小关大关。（部分相关全部相关；全部无关部分相关。） 评 注 对此类定理的掌握不能只局限于理论证明，更重要的是需要找到直观解析或几何图案。上述定理从坐标空间的维度很容易直观理解。 定 理 2 个维向量向量组成的向量组，如果坐标维数小于向量维数时一定线性相 关。特别地：个维向量一定线性相关。 证明：个维向量构成矩阵 上述定理可以这样形象理解：相当于方程组中有多余一个合理方程。或者可以这样理解：单个向量的维数相当于坐标空间的维度，向量组的维数（即向量组所含单个向量的个数）相当于任意矢量的分量个数，如果具有三个分量，它又怎能在2维空间中表示呢，除非三个分量不独立，即线性相关。 形象记忆法：坐标数大于维数总相关。（坐标数指单个向量的维数） 定 理3 设维向量组，为维坐标；维向量组 为增加的坐标维数得到的（称为导出组或延伸组），即，则 （1）无关导出组无关； （2）导出组相关相关。 形象记忆法：高维相关低维相关；低维无关高维无关。 定 理4 设，则元齐次方程的解空间的秩为 。 定 理5 若，当为非零矩阵时不可逆；当为非零矩阵时，则列不满秩， 行不满秩。 定 理6 向量组能由向量组线性表示， 若不能由线性表示，则。 证明：向量组能由向量组线性表示，则矩阵方程有解 向量组不能由向量组线性表示，则矩阵方程无解 若，则方程有解，成立意味 ，与条件矛盾。 故 。 定 理7 若，当为列满矩阵时，则。 证明：设 ，依题意，，知的标准型为，并有： 阶可逆矩阵，使 定 理8 若，则的列向量线性无关。 证明：考虑，则 为的解。 故只有零解，故的列向量线性无关。 评 注 第一，对向量组相关性的理解，首先把向量组转化为对应矩阵，因为秩是它们的公共量，从而等价于讨论矩阵的秩。 第二，要明白秩是用子式（方阵）是否为零来定义的，所以矩阵的秩等于矩阵的行秩也等于列秩，要明白单个向量的维数（坐标空间的维度）和向量组的维数（任意矢量的分量个数）是两个不同的概念。给矩阵增加几行后得矩阵，就相当于增加每一个向量的维数，这时满秩=，就是说无关无关；但反之不成立，因为；如果，就是相关相关，反之也不成立，也是因为。 第19专题讲座---二重积分的系统题型与题法2009 智 轩 一、二重积分的六大对称性 如果积分区域具有轴或点对称（令表示的一半区域，即中对应部分，余类推），被积函数同时具有奇偶性，那么，二重积分的计算可以得到不同程度的简化，这一技巧在研考数学中每年都必出题，务必理解记住下列6类对称性定理。 关于轴对称（关于轴对称类推） ②