求解Helmholtz方程的组合紧致差分格式及其快速预处理算子.pdf

I FI I Ilflll IIJill IlliillrillI 』!II Y1 求解Helmholtz方程的组合紧致 差分格式及其快速预处理算子 摘要：本文第一次成功地将组合紧致差分(CCD)格式应用于离散一维和二维 Helmholtz方程，并显式给出了对应的用矩阵表示的非对称CCD线性系统和借 助合适的边界条件实现了理论上的高阶收敛精度．特别地，对于带有Neumann 边界条件的Helmholtz方程，还提出了一组新的高阶CCD边界格式用于提高边 界的逼近精度．总体而言，本文所给出的CCD格式对于一般边界情况至少达到 了六阶精度． 对于一维Helmholtz方程，先从理论上讨论了CCD离散线性系统满足非奇 异性的充分必要条件，然后提出并分析了一个新的块下三角预处理算子用于迭 代求解所考虑的CCD线性系统．同时，注意到CCD线性系统所带有的鞍点结 构，本文还考虑了一类基于Schilders’分解的约束预处理算子作为比较．数值结 果表明本文提出的块下三角预处理算子要明显快于现有的约束预处理算子．更 加重要的是，基于块下三角预处理算子的GMRES迭代算法在数值上实现了与 网格规模无关的收敛速度，对块下三角预处理算子的特征值分析也部分地证实 了这一数值现象．对于规模为犯的CCD线性系统，块下三角预处理算子的预处 理方程求解仅需pm)的计算量． 给出了二维CCD线性系统的矩阵表示，同时，为了保证离散系统的非奇异性， 四个CCD边界公式用于替换四个角点的原边界方程．为了构造针对二维CCD 线性系统的块下三角类型预处理算子，一种创新的矩阵拉伸技巧用于重组原系 数矩阵．同样，本文还构造了基于Schilders’分解的约束预处理算子用于比较． 数值结果显示本文提出的块下三角类型预处理算子比现有的约束预处理算子要 更加有效，这与理论上的特征值分析是吻合的．数值上也观察到了与网格规模无 关的收敛速度，这一特点对于求解超大规模问题特别重要． 最后，本文得到了一些结论并给出了部分后续研究的建议． 空间法；约束预处理算子；Schilders’分解；矩阵拉伸；GMRES． SOUTH CHINANoRMAL UNIVERSITY Efficient Preconditionersfor the HelmholtzDiscretized Equation by CombinedDifferenceMethod Compact by Jun Liu A thesissubmittedin fulfillmentforthe partial of MasterofScience degree inthe SchoolofMathematical Sciences 2010 May ]