一些实际应用问题用微分方程构建数学模型及得到符合实.ppt

微分方程 比较系数得 从而得 故原方程的通解为 .① ② 将初始条件 分别代入①②，求得 再将 得所求物体的运动规律为 和 的值代入原方程的通解， 练一练 解 取炮口为原点，建立直角坐标系如图所示， 设刚开始射击时t=0，炮弹在t 时刻的位置为 o x 由牛顿 运动第二定律，得 * 高 等 数 学 电 子 教 案 * 第七章 微 分 方 程 四川职业技术学院数学教研室 课题二十八 微分方程应用举例 * * 返回 * 重点：一、二阶微分方程的定义和解法，由通过复习引出 。 难点：一些实际应用问题用微分方程构建数学模型及得到符合实际的解，由实例讲解方法。 总时数：4 学时. 1、知道一阶和简单的二阶微分方程的解法； 2、会用一阶微分方程解决实际应用问题； 3、会用简单的二阶微分方程解决实际应用问题。 【学习目标】 【授课时数】 【重、难点】 一、一阶微分方程应用举例 用微分方程寻求实际问题中未知函数的一般步骤： ⑴ 分析问题，建立微分方程，确定初始条件； ⑵ 求出微分方程的通解； ⑶ 由初始条件确定通解中任意常数，得方程相应 的特解，即为所求函数． [例1] 设 充电电路如图所示，若在合闸前， 化规律． 电容器上的电压 ，求合闸后电压 的变 由回路电压定律，得 解 从而，有 分离变量得 两边积分得　　　　　　　 把初始条件代入得， 即 所求的充电电路的电压 的变化规律是 o t 设墓中木炭 在 时含量为 由题设有　 分离变量得 两边积分得　 解　 记木炭中 含量为 , 代入方程通解得 又由 的半衰期为5730年，得 解得 于是 解得 当 ＝0.772时， （年） 这表明距1972年初马王堆一号墓发掘时，墓中人 已死亡约2139年，由2139－1971＝168（年）, 即墓中人辛追夫人死亡时间约为公元前168年. [例 3] 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间 t 的变化规律. 解 由力学知识得,水从孔口流出的流量为 流量系数 孔口截面面积 重力加速度 设在微小的时间间隔 比较(1)和(2)得: 水面的高度由h降至 , 即为未知函数的微分方程. 可分离变量 所求规律为 解 设鼓风机开动后 时刻 的含量为 在 内, 的通入量 的排出量 [例4] 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含 有 的 ,为了降低车间内空气中 的含量, 用 一台风量为2000立方米/秒的鼓风机通入含 的 的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后,车间内 的百分比降低到多少? 的改变量 的通入量 的排出量 6分钟后, 车间内 的百分比降低到 x 解 取 为坐标原点，河岸朝顺水方向为 轴， 轴指向对岸，如图所示. 设水流速度为 （ 鸭子的游速为 （ 则鸭子的实际运动速度为 ） , ） ， x 设在时刻 鸭子位于点 则鸭子的运动速度为 ， 故有 而 由此得微分方程 令 则 代入上面方程，得 分离变量，得 两边同时积分，并整理得 将 代入上式，得 鸭迹线的方程为 练一练 解 设降落伞下落速度为 时伞所受空气阻力为 （负号表示阻力与运动方向相反， 为常数）. 另外，伞在下降过程中还受重力 作用， 由牛顿第二定律得 对上述方程分离变量得 两边积分得 由初始条件得 即 故所求特解为 由此可见， 的增大，速度 逐渐变大且趋于 常数 ，但不会超过 这说明跳伞后，开始阶段 是加速运动，以后逐渐趋于匀速运动． o t 随着 二、二阶微分方程应用举例 用微分方程寻求实际问题中未知函数的一般步骤： ⑴ 分析问题，建立微分方程，确定初始条件； ⑵ 求出微分方程的通解； ⑶ 由初始条件确定通解中任意常数，得方程相应 的特解，即为所求函数． [例1]设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1, 0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰．如果乙舰以最大的速度v0（ v0是常数）沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线方程．又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？ 解 由于导弹头 始终对准乙舰, 故此时直线PQ 就是导弹的轨迹曲线弧OP在 点P处的切线， x 于是有 R 即 (1) 又根据题意，弧OP的长度为 的5倍，即 (2) 由(1)(2)消去t整理得模型 (3) 解得导弹的运行轨迹方程为 当 时， ，即当