第三章控制系统的数学模型1.ppt

3）代(3)入(1)，得到系统第一个运动方程： 4）分析摆杆垂直方向的合力，有： 4）摆杆对质心的力矩平衡方程： 5）从(3)、(6)、(7)中消去P和N，得到第二个运动方程： 6）综上，系统的两个运动方程为： 非线性模型的线性化 非线性模型线性化的基本方法 基本思想 基本假设 数学工具 连续变化的非线性特性函数线性化，可用切线法（或小偏差法），其实质是在一个很小的范围内，将非线性特性用一段直线来代替。 在控制系统整个调节过程中，所有变量与稳态值之间只会产生足够微小的偏差。 泰 勒 级 数 单变量非线性函数在平衡点附近线性化方法 设函数 在 点连续可微，则将它在该点附近用泰勒级数展开，得 当增量 很小时，略去级数中含有其高次幂的项，并将上式各边均减去 ，即 ，得 将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点，这时，系统所有的初始条件均为零。 增量方程的数学含义： 线性化模型，又称增量方程 非线性函数线性化的关键 确定系统的平衡工作点！！ 单摆自由运动方程的线性化 系统平衡工作点为（0,0） 单摆运动的线性化方程 倒立摆系统运动方程的线性化： 系统平衡工作点（F0, φ0）为（0,0） 在平衡工作点处非线性项 线性化为： 在平衡工作点处非线性项 线性化为： 在平衡工作点处非线性项 线性化为： 倒立摆系统的线性化模型为： 社会、经济等大系统领域 ——模拟近似法： 在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，常用模拟近似的方法来建立微分方程模型。建模时在不同的假设下去模拟实际现象，这个过程是近似的，用模拟近似法所建立的微分方程从数学上去求解或分析解的性质，再去同实际情况对比，看这个微分方程模型能否刻划、模拟、近似某些实际现象。 建模方法 用模拟近似法时必须检验所求得的解是否与实际情况相符或基本相符。相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原因，对模型进行修改。 举例 经济领域——马尔萨斯（Malthus）人口预测模型 背景资料：英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间，查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数，于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型。 基本假设：在人口自然增长过程中，净增长率（出生率与死亡率之差）是常数，即单位时间内人口的增长量与人口成正比，比例系数设为r。 问题描述：在上述假设下，推导并求解人口随时间变化的数学模型。 分析与建模： 设t时刻人口数为N(t)，t = t0时，N(t0)= N0 ，则根据马尔萨斯假设，在 t 到 Δt 时间段内，人口的增长量为： 单位时间内人口增长量 Δt时间内人口增长量 一般情况下， Δt 很小，人口总数N(t)很大，故可将N(t)当作连续、可微函数处理（离散变量的连续化）。 Malthus人口模型 模型求解： 采用可分离变量法求解： 两边积分，得： 模型检验： 统计数据：据估计1961年地球上的人口总数为3.06×109，而在以后7年中，人口总数以每年2%的速度增长，人口数大约每35年增加一倍。 模型检验： 令人口数量翻一番所需的时间为T，则有： t0 = 1961，N0 = 3.06×109，r = 0.02 计算参数： 控制工程基础 主讲教师：韩锟 TelO） Email:hkun@csu.edu.cn QQ：1297548665 控制系统的数学模型 第三章 控制系统分析和设计的一般步骤： 第三章 第四章 第六章 确定模型结构 确定模型参数 目标提出 定性因果分析 系统运动分析与预测 目标实现 决策与最优策略设计 模型建立 系统分析 认识世界 系统综合 改造世界 一、概述 二、控制系统的时域模型 三、控制系统的复域模型 控制系统的数学模型 一、概述 描述系统动态特性的数学方程，用来表达一个系统内部各部分之间、或系统与外部环境之间的关系。 控制系统数学模型的基本概念 实际上，它是由系统输入、输出变量及系统参数组成的数学关系式，是描述系统、分析系统、控制系统的工具。 建立控制系统数学模型的方法 机理分析法：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律 建模方法 测试分析法：将对象看作“黑箱”，通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型 基本方法 建模注意事项 建立系统的数学模型，要从系统本身的特点出发，不同性质的系统，其建模的过程有所不同； 建模必须