第5章李亚普诺夫稳定性分析(2014—12).ppt

第5章 系统运动的稳定性 外部稳定性和内部稳定性 李亚普诺夫稳定性的基本概念 李亚普诺夫稳定性定理 线性定常系统李亚普诺夫稳定性分析 线性时变系统李亚普诺夫函数的求法 非线性系统李亚普诺夫稳定性分析 李亚普诺夫直接法应用举例 也可以说,系统的稳定性就是系统在受到外界干扰后,系统状态变量或输出变量的偏差量(被调量偏离平衡位置的数值)过渡过程的收敛性,用数学方法表示就是 式中，?x(t)为系统被调量偏离其平衡位置的变化量; ?为任意小的规定量。 如果系统在受到外扰后偏差量越来越大,显然它不可能是一个稳定系统。 分析一个控制系统的稳定性,一直是控制理论中所关注的最重要问题。 对于简单系统，常利用经典控制理论中线性定常系统的稳定性判据。 在经典控制理论中,借助于常微分方程稳定性理论,产生了许多稳定性判据,如劳斯-赫尔维茨(Routh-Hurwitz)判据和奈奎斯特判据等，都给出了既实用又方便的判别系统稳定性的方法。 但这些稳定性判别方法仅限于讨论SISO线性定常系统输入输出间动态关系,讨论的是 线性定常系统的有界输入有界输出(BIBO)稳定性, 未研究系统的内部状态变化的稳定性。也不能推广到时变系统和非线性系统等复杂系统。 对于非线性或时变系统,虽然通过一些系统转化方法,上述稳定判据尚能在某些特定系统和范围内应用,但是难以胜任一般系统。 现代控制系统的结构比较复杂,大都存在非线性或时变因素,即使是系统结构本身, 往往也需要根据性能指标的要求而加以改变,才能适应新的情况,保证系统的正常或最佳运行状态。 在解决这类复杂系统的稳定性问题时,最通常的方法是基于李雅普诺夫第二法而得到的一些稳定性理论,即李雅普诺夫稳定性定理。 控制系统的稳定性有两种定义方式： 外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外部状态,即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性。 经典控制理论讨论的有界输入有界输出（BIBO)稳定即为外部稳定性 。 内部稳定性：是关于动力学系统的内部状态变化所呈现稳定性,即系统的内部状态稳定性。 李雅普诺夫稳定性即为内部稳定性。 外部稳定性只适用于线性系统,内部稳定性不但适用于线性系统,而且也适用于非线性系统。 对于同一个线性系统,只有在满足一定的条件下两种定义才具有等价性。 1 外部稳定性 2 内部稳定性 3 外部稳定性与内部稳定性的关系 若系统内部稳定，则系统必为BIBO稳定 若系统为BIBO稳定，并不能保证系统必为内部稳定 若系统能控且能观测，则BIBO稳定性与内部稳定性是等价的 ■系统为BIBO稳定，并不能保证系统必为内部稳定 非线性系统的稳定性是相对系统的平衡态而言的,很难笼统地讨论非线性系统在整个状态空间的稳定性。 对于非线性系统,其不同的平衡态有着不同的稳定性,故只能分别讨论各平衡态附近的稳定性。 对于稳定的线性系统,一般只存在唯一的孤立平衡态,所以只有对线性系统才能笼统提系统的稳定性问题。 李雅普诺夫稳定性理论讨论的是动态系统各平衡态附近的局部稳定性问题。 它是一种具有普遍性的稳定性理论, 不仅适用于线性定常系统,而且也适用于非线性系统、时变系统、分布参数系统。 稳定和渐近稳定，两者有很大的不同。 对于稳定而言，只要求状态轨迹永远不会跑出球域S(xe,?)，至于在球域内如何变化不作任何规定。 而对渐近稳定，不仅要求状态的运动轨迹不能跑出球域，而且还要求最终收效或无限趋近平衡状态xe。 从工程意义来说,渐近稳定性比经典控制理论中的稳定性更为重要。 由于渐近稳定性是个平衡态附近的局部性概念,只确定平衡态渐近稳定性,并不意味着整个系统能稳定地运行。 1) 是正定的; 2) 是半负定的 则系统原点处的平衡状态在李亚普诺夫意义下是一致稳定的。 若 及其对时间的导数 满足 1) 是正定的; 2) 也是正定的。 则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。 【例4】设系统的状态方程为 试确定平衡状态的稳定性 解 系统为线性定常系统,且系统矩阵非奇异,故状态空间原点 为该系统唯一的平衡状态。选取标准二次型作为一个可能的李亚普诺夫函数，即 该函数是正定的， 沿任意状态轨迹对时间的导数为 可见, 是半负定的。由定理5-3知,系统在原点处的平衡状态一定是李亚普诺夫意义下一致稳定的。但为了进一步判定是否渐近稳定,则应判断 在非零解运动轨线是否恒为零。 设 ，则有 ，即有 和 ,代入系统状态方程得 和 。这就表明，只有