2013-2014学年高中数学人教A版选修1-1同步辅导与检测：3.4生活中的优化问题举例.ppt

金品质?高追求 我们让你更放心 ！ ◆数学?选修1-1?(配人教A版)◆ 金品质?高追求 我们让你更放心！ 返回 ◆数学?选修1-1?(配人教A版)◆ 3.4　生活中的优化问题举例 导数及其应用 1. 优化问题 生活中经常遇到的利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题． 2．利用导数解决优化问题的基本思路 利用导数解决优化问题的一般步骤 (1)审题：认真阅读，分析实际问题中各个量之间的关系； (2)建模：实质就是数学化的过程，即把实际问题用数学符号、式子、图形等表示出来，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)； (3)求解：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0，并比较区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，得出函数的最值； (4)检验：对结果进行验证评估，定性、定量分析，作出判断，确定问题的答案． 用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？ 解析：设容器的高为x cm，容器的体积为V(x) cm3， 则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4320x，其中0＜x＜24. ∵V′(x)＝12x2－552x＋4320， 由V′(x)＝12x2－552x＋4320＝0， 得x1＝10，x2＝36(舍去) 当0＜x＜10时，V′(x)＞0； 当10＜x＜24时，V′(x)＜0. 所以，当x＝10时，V(x)有极大值V(10)＝19600. 又V(0)＝0，V(24)＝0， 所以当x＝10时，V(x)有最大值V(10)＝19600 cm3. 答：当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积为19600 cm3. 点评：本题较好地演示了用导数求解生活中的物体的面积、体积的最大(小)值的过程，应该多加体会． 变式迁移 1．需要建一个面积为512m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三面需要砌新墙，当砌墙所用的材料最省时，堆料场的长和宽各为__________． 32m,16 m 某工厂拟建一座平面图(如右下图所示)为矩形且面积为200 m2 的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m．如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)． (1)写出总造价y(元)与污水处 理池长x(m)的函数关系式，并指出 其定义域； (2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？求出最低总造价． 解析： ( 1 ) 因为污水处理水池的长为 x m ， 则宽为 200 x m ， 总造价为 y ＝ 400 è ? ? ? 2 x ＋ 2 × 200 x ＋ 248 × 200 x × 2 ＋ 80 × 200 ＝ 800 è ? ? ? x ＋ 324 x ＋ 16000. 由题设条件，得 ? ? í ? ì 0 ＜ x ≤ 16 0 ＜ 200 x ≤ 16 ， 解得 12.5 ≤ x ≤ 16 ，即函数定义域为 [ 12.5 , 16 ] ． ( 2 ) 先研究函数 y ＝ f ( x ) ＝ 800 è ? ? ? x ＋ 324 x ＋ 16000 在 [ 12.5 , 16 ] 上单调性， 由于 f ′ ( x ) ＝ 800 è ? ? ? 1 － 324 x 2 ，所以， 当 x ∈ [ 12.5 , 16 ] 时， f ′ ( x ) ＜ 0 ， 故函数 y ＝ f ( x ) 在 [ 12.5 , 1 6 ] 上是减函数 ． ∴ 当 x ＝ 16 ，相应的 200 x ＝ 200 16 ＝ 12.5 时， y 取得最小值， 最小值为 y ＝ 800 è ? ? ? 16 ＋ 324 16 ＋ 16000 ＝ 45000. 综上，当污水处理池的长为 16 m 时，宽为 12.5 m 时， 总造价最低，最低为 45000 元 ． 点评：该题突出地表现了用导数求生活中的用料最省以及费用低等问题的积极作用，整个过程思路自然、表述简单明了．需要特别提醒用基本不等式求最大(小)值时，等号成立的条件是否满足．