高考数学学习课件第一轮.1031数列与函数的极限（2）.docVIP

g3.1031数列与函数的极限（2） 一、知识回顾 1、函数的极限 当x→∞时函数f(x)的极限: ；； 当自变量x取正值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于正无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作,(或x→+∞时,f(x)→a) 当自变量x取负值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于负无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作,(或x→-∞时,f(x)→a) 注：自变量x→+∞和x→-∞都是单方向的，而x→∞是双向的，故有以下等价命题 令，分别求 当x→x0时函数f(x)的极限: ； ； 如果当x从点x=x0左侧（即x＜x0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a。就说a是函数f(x)的左极限，记作。 如果当x从点x=x0右侧（即x＞x0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a。就说a是函数f(x)的右极限，记作。 注：1与函数f（x）在点x0处是否有定义及是否等于f（x0）都无关。 2。并且可作为一个判断函数在一点处有无极限的重要工具。 注：极限不存在的三种形态：①左极限不等于右极限；②时，，③时，的值不唯一。 4）函数极限的运算法则： 若，，那么；； ；；。 注：以上规则对于x→∞的情况仍然成立。 5）两个重要的极限：；和一个法则：罗必塔法则： 2、函数的连续性 (1)函数连续性的概念: ①如果函数f(x)在x=x0处及其附近有定义,而且,就说函数f(x)在x=x0处连续。 注：函数f(x)在x=x0处连续必须具备三个条件：Ⅰ）函数f(x)在x=x0处及其附近有定义；Ⅱ）函数f(x)在x=x0处有极限；Ⅲ）函数f(x)在x=x0处的极限值等于这一点处的函数值f(x0)。 ②右连续（或左连续）：如果函数f(x)在x=x0处及其右侧（或左侧）有定义，而且（或）。 ③若函数f(x)在(a,b)内每一点都连续,且在a点右连续，b点左连续，则称f(x)在闭区间[a,b]上连续。 注：函数f(x)在(a,b)内连续，只要求在(a,b)内每一点都连续即可，对在端点处是否连续不要求。 (2)函数连续性的运算: ①若f(x)，g(x)都在点x0处连续，则f(x)±g(x)，f(x)?g(x)，(g(x)≠0)也在点x0处连续。 ②若u(x)都在点x0处连续，且f(u)在u0=u(x0)处连续,则复合函数f[u(x)]在点x0处连续。 (3)初等函数的连续性: ①基本初等函数（指数函数，对数函数，三角函数等）在定义域里每一点处都连续。 ②基本初等函数及常数经过有限次四则运送所得到的函数，都是初等函数，初等函数在其定义域里每一点处的极限都等于该点的函数值。 （3） 图甲表示的是f(x)在点x0处的左、右极限存在但不相等，即不存在 图乙表示的是f(x)在点x0处的左极限存在、右极限不存在，也属于不存在 图丙表示的是存在，但函数f(x)在点x0处没有定义 图丁表示的是存在，但它不等于函数f(x)在点x0处的函数值。 注意：函数f(x)在x=x0处连续与函数f(x)在x=x0处有极限的联系与区别。“连续必有极限，有极限未必连续。” 二、基本训练 1、是函数在点xo处存在极限的（　　） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 2、m0,n0时，的值是（ ） （A） （B）0 （C）1 （D） 3、（ ） （A）0 （B） （C）－ （D）不存在 4、的值为（ ） （A）1 （B）0 （C）－1 （D）±1 5、f(x)=下面结论正确的是（ ） （A） （B）2 ，不存在 （C）0， 不存在 （D）≠ 6.（05江西卷）8． A．－1 B．1 C．－ D． 7.(05辽宁卷)极限存在是函数在点处连续的 A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件 8.（1）指出下列函数的不连续点： ①； ②； ③ （2）已知，确定常数a，使存在。 三、例题分析 例1：判断下列函数的极限是否存在： （1） （2） （3） （4）， 例2：设 ，问a，b为何值时，存在。 例3：求下列各极限 (1)()； (2) () (3)； (4) (5) 例4：利用连续函数的图象特征，判断方程：是否存在实数根。 例5：已知求 例6：为多项式，且，求。 答案：基本训练 1