高考数学学习课件第一轮.1065空间的角.docVIP

g3.1065空间的角 知识回顾： 1．异面直线所成角的定义： ． 2．直线与平面所成角： （1）直线与平面平行或直线在平面内，则 ． （2）直线与平面垂直，则 ． （3）直线是平面的斜线，则定义为 ． 3．最小角定理： ． 4．二面角的概念： ． 5．二面角的平面角： ． 6．求二面角平面角大小的一般方法： ． 基础训练： 1．二面角内有一点，若到平面的距离分别是，且在平面的内的射影的距离为，则二面角的度数是 （ ） 2．已知分别是正方体的棱的中点，则截面与底面所成二面角的正弦值是 （ ） 3．对于平面几何中的命题：“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述的命题，可以得到命题： ，这个命题的真假性是 ． 4．在四面体中，两两垂直，且，是中点，异面直线所成的角为，则二面角的大小为 ． 例题分析： 例1. 如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面． （1）与是否相互垂直，请证明你的结论； （2）求二面角的大小； （3）求证：平面⊥平面． 解：（1）与相互垂直.证明如下： 取的中点，连结，交于点；连结． ∵，∴．又∵平面⊥平面， 平面∩平面，∴⊥平面． 在梯形中，可得， ∴， 即， ∴ ． （2）连结， 由⊥平面，，可得， ∴为二面角的平面角， 设，则在中， ∴二面角为 ． （3）取的中点，连结，由题意知：平面⊥平面， 则同“（1）”可得平面． 取的中点，连结，则由， ，得四边形为平行四边形. ∴， ∴⊥平面．∴平面⊥平面． 解答二： 取的中点，由侧面⊥底面， 是等边三角形， 得⊥底面． 以为原点，以所在直线为轴， 过点与平行的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则在直角梯形中，， 在等边三角形中，．∴ （1）与相互垂直.证明如下：∵ ∴． （2）连结，设与相交于点；连结． 由得． 又∵为在平面内的射影， ∴，为二面角的平面角． 在中，． 在中，． ∴二面角为． （3）取的中点，连结，则的坐标为． 又，， ∴ ． ∴ ∴⊥平面． ∴平面⊥平面． 小结：三垂线定理是求二面角的平面角的又一常用方法． 例2.在的二面角中，，已知、到的距离分别是和，且，、在的射影分别为、，求：（1）的长度；（2）和棱所成的角． 例3.棱长为4的正方体中，是正方形的中心，点在棱上，且． （Ⅰ）求直线与平面所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）设点在平面上的射影是，求证：． 例4. 在三棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，，分别是的中点． （1）证明； （2）求二面角的大小； （3）求点到平面的距离． 例5. 如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1AA1的长为a，ABCD是边长AB=2a，BC=aE是C1D1的中点； （1）CE与BD1所成角的余弦值； （2）求证：平面BCE⊥平面BDE； B－DC1－C 四、作业同步练习g3.1065空间的角 3．过正方形的顶点，引⊥平面，若，则平面和平面所成的二面角的大小是 （ ） 4．已知正三棱锥两个相邻侧面所成二面角为，那么的取值范围 （ ） 或 5．在正三棱柱中，已知，在上，且，若与平面所成的角为，则（ ） 6．一直线和直二面角的两个面所成的角分别是，则的范围是（ ） 7．已知是两条异面直线的公垂线段，，则所成的角为 ． 8．在四面体中，两两垂直，且，是中点，异面直线所成的角为，则二面角的大小为