高考数学学习课件第一轮.1069棱锥.docVIP

g3.1069棱锥 知识回顾: 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形. [注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形. ②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以. ⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心. [注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形） ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等 iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形. ②正棱锥的侧面积：（底面周长为，斜高为） ③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：（侧面与底面成的二面角为） 附： 以知⊥，，为二面角. 则①，②，③ ①②③得. 注：S为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）. ⑵棱锥具有的性质： ①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）. ②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形. ⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置： ①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心. ⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心. ⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径； ⑧每个四面体都有内切球，球心是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径. [注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等） ii. 若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直. 简证：AB⊥CD，AC⊥BD BC⊥AD. 令 得，已知 则. iii. 空间四边形OABC且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形. iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形. 简证：取AC中点，则平面90°易知EFGH为平行四边形EFGH为长方形.若对角线等，则为正方形. 基础训练: 1．给出下列命题： ①底面是正多边形的棱锥是正棱锥； ②侧棱都相等的棱锥是正棱锥； ③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥； ④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥，其中正确命题的个数是( ) 2．如果三棱锥的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点在底面的射影在内，那么是的( ) 垂心 重心 外心 内心 ．已知三棱锥的三个侧面与底面全等，且 ，，则以为棱，以面与面为面的二面角的大小是( ) 4、若一个三棱锥中，有一条棱长为a，其余棱长均为1，则其体积取得最大值时的值为（ ） A、1 B、 C、 D、 三.例题分析: 例1．正四棱锥中，高，两相邻侧面所成角为 ，, (1)求侧棱与底面所成的角。(2)求侧棱 长、底面边长和斜高(见图)。 解：（1） 作于，连结，则且，故是相邻侧面所成二面角的平面角，连结，则， ，在与中， ＝＝(其中为与底面所成的角，设为) 故 。 （2）在 中，侧棱=，， ∴边长；取的中点，连结，则是正四棱锥的斜高， 在中，斜高； 例2．如图正三棱锥中，底面边长为，侧棱长为，若经过对角线且与对角线平行的平面交上底面于。（1）试确定点的位置，并证明你的结论；（2）求平面与侧面所成的角及平面与底面所成的角；（3）求到平面的距离。 解：（1）为的中点。连结与交于，则为的中点，为平面 与平面的交线，∵//平面 ∴//，∴为的中点。 （2）过作于，由正三棱锥的性质，平面，连结，则为平面与侧面所成的角的平面角，可求得， 由，得，∴ ∵为的中点，∴，由正三棱锥的性质，，∴平面 ∴，∴是平面与上底面所成的角的平面角，可求得 ，∴ （3）过作，∵平面，∴，∴平面 即是到平面的距离，，∴ 例3．如图，已知三棱锥的侧面是底角为的等腰三角形，，且该侧面垂直于底面，，，， (1)求证：二面