计算方法：方程的拟合.ppt

化工计算：方程的拟合 化工实验和工程实践中，可测得许多离散的实验数据和工业数据，通常需要寻找一条连续光滑曲线 来近似反映已知数据组间存在的某种关系，所得近似函数 可以很好地逼近离散数据（ ），这个函数逼近的过程称为曲线拟合或经验建模。 常用最小二乘法曲线拟合。 1. 最小二乘法曲线拟合的原理 通常采用“近似函数在各实验点的计算结果与实验结果的偏差平方和最小”的原则建立近似函数。 经验建模 经验建模又分为两种情况： 一是无任何理论依据，但有经验公式可供选择，例如很多物性数据（热容、密度、饱和蒸气压）与温度的关系常表示为: 二是没有任何经验可循的情况，只能将实验数据画出图形与已知函数图形进行比较，选择图形接近的函数形式作拟合模型。 2. 最小二乘法算法分类 不论何种建模情况，在选定关联函数的形式之后，就是如何根据实验数据去确定所选关联函数中的待定系数。 最小二乘法按计算方法特点又分为线性最小二乘法和非线性最小二乘法。 3. 线性最小二乘法 可推导出 4. 多元线性最小二乘法 设系统共有n个影响因子，得到m次实验数据。若可用多元线性函数拟合时，形式如下： 若k代表第k次实验的数据，则相应的预测值表示为： 由最小二乘法设： 欲使Q最小，按极值的必要条件，要满足: 多元线性拟合例子 在应用最小二乘法曲线拟合时，通常遇到更多的是非线性函数。对比线性模型拟合，非线性模型拟合要困难的多。 5. 非线性最小二乘法 化工中常见的函数 双曲线 幂函数 指数函数 负指数函数 对数函数 S型曲线 n次多项式 6. 非线性直接拟合 * LOGO * LOGO logη= -2.137+ 882.43/(T-160.036) 最小 若 称此曲线拟合法为最小二乘法曲线拟合。 式中Q称为均方误差。由于计算均方误差的最小值的原则容易实现而被广泛采用。 定义: 最小二乘法的优点是函数形式多种多样，根据其来源不同，可分为半经验建模和经验建模两种。 半经验建模 如果建模过程中先由一定的理论依据写出模型结构，再由实验数据估计模型参数，这时建立的模型为半经验模型。例如，描述反应速率常数与温度的关系可用阿仑纽斯方程，即 这种情况下，工作要点在于如何确定函数中的各未知系数 ， 对于一元线性函数： 测定了m个自变量值： 和m个应变量值： 计算出m个应变量值： 定义误差： 3. 线性最小二乘法 线性最小二乘法是常用的曲线拟合方法。线性最小二乘法又分为一元和多元等不同情况。 一元线性最小二乘法的方法概述 欲使Q最小，按极值的必要条件，要满足: 由最小二乘法：设 3. 线性最小二乘法 上式称为一元线性最小二乘法的法方程 共n个影响因子，有m次实验数据， 若k代表第k次实验的数据，则： 设多元线性函数： 4. 多元线性最小二乘法 则转化为以 为未知数的方程组： 上式称为多元线性最小二乘法的法方程。解此方程组，可求出参数 ，因此拟合方程 便可确定。 因此，要求： 根据最小二乘原则： 要使 达到最小 4. 多元线性最小二乘法 16.75 1.0 0.18 320 35.72 1.7 0.36 320 19.53 1.7 0.09 320 25.28 1.7 0.18 710 26.53 1.7 0.18 160 29.23 1.7 0.18 320 38.8 2.3 0.18 320 F v f a 模型：lnF=lnA+Blna+Clnf+Dlnv，求解A、B、C、D。 表1. 实验测得原始数据 5. 非线性最小二乘法 最好设法使模型转化为线性形式。有些非线性模型是不能变换成线性模型的，这时应该用直接非线性最小二乘法进行处理。 非线性模型拟合的二个途径 直接采用非线性拟合 通过代换转化为线性关系 双曲线 令： 代换方程为： 幂函数 两边取对数 令： 代换方程为： y x b＞1 b=1 b＜1 1 c 指数函数 两边取对数 令： 代换方程为： y x b＞0 b＜0 a x y b＞0 b＜0 a 负指数函数  令 则代换方程为： y x b＜0 b＞0 0 对数函数  令 则代换方程为： S型曲线 变形后， 令： 代换方程为： y x 1/a n次多项式 令： 代换方程为： 有些非线性方程无法