实属基本定理的两两证明.docVIP

实数基本定理的相互证明 袁 文 俊 （广州大学数学与信息科学学院院，广东 广州 510405） 【摘要】本文给出实数理论的8个基本定理的两两相互证明。 【关键词】实数基本定理；等价性；数列；极限；收敛。 【中图分类号】O 174.5 【文献标识码】 A 1. 引 言 实数基本定理以不同的形式刻划了实数的连续性和完备性，实数基本定理是建立与发展微积分学的基础。因此掌握这部分内容是十分必要的，特别是可通过这部分内容的学习与钻研，培养严密的逻辑思维能力。本文主要给出实数理论的8个基本定理的两两相互证明。 2. 实数基本定理的陈述 定理1(确界原理) 非空有上(下)界数集，必有上(下)确界。 定理2(单调有界原理) 任何单调有界数列必有极限。 定理3( Cantor区间套定理) 若是一个区间套, 则存在唯一一点，使得。 定理4(Heine-Borel有限覆盖定理) 设是一个闭区间，为上的一个开覆盖，则在中存在有限个开区间，它构成上的一个覆盖。 定理5（Weierstrass聚点原理） 直线上的有解无限点集至少有一个聚点。 定理6（Bolzano致密性定理） 有界无穷数列必有收敛子列。 定理7(Cauchy收敛准则) 数列收敛对任给的正数，总存在某一个自然数，使得时，都有。 定理8(Dedekind准则，或称实数连续性定理) 设序对(,)为R的一个分划，则或者有最大元，或者有最小元。 由于多数教材中Dedekind分划定理是作为选学内容， 因此在证明等价性时我们将分两部分进行。在第3节给出定理1到定理7之间的两两推证， 而在第4节证明定理8与其它7个命题的等价性。 限于篇幅，对有关概念和某些命题的简单情形(如Cauchy收敛准则的必要条件，Cantor区间套定理中点的唯一性证明，数列中仅有有限个不同数等)在本文中不予介绍和证明，读者若有兴趣，可以自己给出或可参见文献([3], [4])等。 我们注意到，实数完备性基本定理等价性的互证，几乎都可以利用二等分构造区间套的方法证明，为了开阔视野，加深对这部分内容的理解，我们尽可能利用二等分法以外的方法证明定理之间的等价性。 作者简介：袁文俊（1957-），男，教授，理学博士，主要从事函数论及其应用的教学与研究。 基金项目：教育部重点资助项目的子项目(03A08); 广东省新世纪高校教改资助项目(02042)。 3. 定理1到定理7的互证 (1) 定理1定理2(确界原理单调有界原理) 证 不妨设为单增有上界数列，即，，有。 记，则由确界原理知有上确界，不妨记为，则 ，从而，使得成立。因为是单调递增数列，所以，有 。故 。 (2) 定理定理3（确界原理Cantor区间套定理） 证 因为，所以。 则显然数列、皆为有界数列，且每个都是的上界，每个都是的下界所以由确界原理知, 使得， 使得。 所以。又因为，所以。 记则即有使得。 假设还有另外一点且，则 即。从而唯一性得证。 (3) 定理1定理4(确界原理Heine-Borel有限覆盖定理) 证 设是有闭区间的任一开覆盖。令 可以被有限覆盖，。 因为，所以必含有中的点，即覆盖。即，且有上界。由确界原理知, 。 下面证明: 为此取开区间，故使，。由于有有限覆盖，故添上，仍有有限覆盖，从而。 现证: 若，因，故则。这与是的上确界矛盾，故。 (4) 定理1定理5(确界原理Weierstrass聚点原理) 证 设是直线上的有界无限点集，则由确界原理有。若中有一点不是的孤立点，则显然就是的一个聚点。 否则，令中仅有有限个数小于。显然非空且有上界。令，则由的构造方法可知，必有，即中有无限个数小于大于。所以中含有的无限个数，故是的聚点。 (5) 定理1定理6(确界原理Bolzano致密性定理) 证 设是有界无穷数列，则由(4)的证明可知，有聚点。再由聚点的等价定义可知，在中存在点列以该聚点为极限。再将此收敛的点列作些技术性处理就可得到的一个收敛的子列。 (6) 定理1定理7(确界原理Cauchy收敛准则) 证 设为Cauchy基本列，则 有。易证为有界列。由确界原理可知，。 Case(1) 若或者。不妨设则使得。设，则必使得 。令，则。即使得当时，有。由于为Cauchy基本列，所以使得有 。 故。。 Case(2)若且，则令，。若有Case(1) 的条件，则可知收敛。否则令。依次递推