2014高考数学冲刺必考专题解析数学开放性问题问题.docVIP

数学开放性问题怎么解 数学开放性问题是近年来高考命题的一个新方向,其解法灵活且具有一定的探索性,这类题型按解题目标的操作模式分为:规律探索型,问题探究型,数学建模型,操作设计型,情景研究型.如果未知的是解题假设,那么就称为条件开放题;如果未知的是解题目标,那么就称为结论开放题;如果未知的是解题推理,那么就称为策略开放题.当然,作为数学高考题中的开放题其“开放度”是较弱的,如何解答这类问题,还是通过若干范例加以讲解. 例 1 设等比数列的公比为 ，前 项和为 ，是否存在常数 ，使数列 也成等比数列？若存在，求出常数；若不存在，请 明 理 由. 讲解 存在型开放题的求解一般是从假设存在入手, 逐步深化解题进程的. 设存在常数， 使数列 成等比数列. (i) 当 时， 代入上式得 即=0 但, 于是不存在常数 ，使成等比数列. (ii) 当 时，， 代 入 上 式 得 . 综 上 可 知 , 存 在 常 数 ，使成等比数列. 等比数列n项求和公式中公比的分类, 极易忘记公比的 情 形, 可 不 要 忽 视 啊 ! 例2 某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元. （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）； (3 ) 使用若干年后，对机床的处理方案有两种： (i )当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床； (ii )当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床，问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由. 讲解 本例兼顾应用性和开放性, 是实际工作中经常遇到的问题. （1） =. （2）解不等式 ＞0, 得 ＜x＜. ∵　x∈N， 　∴　3 ≤x≤ 17. 故从第3年工厂开始盈利. （3）(i) ∵　≤40 当且仅当时，即x=7时，等号成立. ∴　到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30=114万元. (ii)　　y=-2x2+40x-98= -2（x-10）2 +102， 当x=10时，ymax=102. 故到2011年，盈利额达到最大值，工厂共获利102+12=114万元. 解答函数型最优化实际应用题，二、三元均值不等式是常用的工具. 例3 已知函数f(x)= (x-2) (1)求f(x)的反函数f-1(x); (2)设a1=1,=-f-1(an)(n∈N),求an; (3)设Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1-Sn是否存在最小正整数m,使得对任意n∈N,有bn成立？若存在，求出m的值；若不存在说明理由. 讲解 本例是函数与数列综合的存在性问题, 具有一定的典型性和探索性. (1) y=, ∵x-2，∴x= -, 即y=f-1(x)= - (x0). (2) ∵ , ∴=4. ∴{}是公差为4的等差数列. ∵a1=1, ∴=+4(n-1)=4n-3. ∵an0 , ∴an=. (3) bn=Sn+1-Sn=an+12=, 由bn,得 m对于n∈N成立. ∵≤5 , ∴m5,存在最小正数m=6,使得对任意n∈N有bn成立. 为了求an ,我们先求,这是因为{}是等差数列, 试问: 你能够想到吗? 该题是构造等差数列的一个典范. 例4 已知数列在直线x-y+1=0上. 求数列{an}的通项公式； （2）若函数 求函数f(n)的最小值； (3)设表示数列{bn}的前n项和.试问:是否存在关于n 的整式g(n), 使得对于一切不小于2的自然数n恒成立?若存在,写出g(n)的解析式,并加以证明;若不存在,说明理由. 讲解 从 规 律 中 发 现 ,从 发 现 中 探 索. （1） （2） , , . （3）, . 故存在关于n的整式使等式对于一切不小2的自然数n恒成立. 事实上, 数列{an}是等差数列, 你知道吗？ 例5 深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%。据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色，